Algebra multilineal de e.v. euclideanos

Algebra multilineal de e.v. euclideanos

Álgebra Multilineal de E.V. Euclideanos.

Juan Manuel Márquez B.

Estos son algunos hechos básicos de los— espacios vectoriales euclideanos —espacios vectoriales con producto interior y las ideas de transformaciones multilinealesconocidas como tensores.

Sea $\mathrm{V}$ un espacio euclideano con $\mathrm{⟨}\mathrm{\hspace{1em}}\mathrm{,}\mathrm{⟩}$ su producto interior en el, es decirun mapeo $\mathrm{V}\mathrm{\times }\mathrm{V}\mathrm{\to }\mathrm{R}$ que cumple:

i) $\mathrm{⟨}\mathrm{r}\mathsf{}\mathrm{X}\mathrm{+}\mathrm{s}\mathsf{}\mathrm{Y}\mathrm{,}\mathrm{Z}\mathrm{⟩}\mathrm{=}\mathrm{r}\mathsf{}\mathrm{⟨}\mathrm{X}\mathrm{,}\mathrm{Z}\mathrm{⟩}\mathrm{+}\mathrm{s}\mathsf{}\mathrm{⟨}\mathrm{Y}\mathrm{,}\mathrm{Z}\mathrm{⟩}$

ii) $\mathrm{⟨}\mathrm{X}\mathrm{,}\mathrm{r}\mathsf{}\mathrm{Y}\mathrm{+}\mathrm{s}\mathsf{}\mathrm{Z}\mathrm{⟩}\mathrm{=}\mathrm{r}\mathsf{}\mathrm{⟨}\mathrm{X}\mathrm{,}\mathrm{Y}\mathrm{⟩}\mathrm{+}\mathrm{s}\mathsf{}\mathrm{⟨}\mathrm{X}\mathrm{,}\mathrm{Z}\mathrm{⟩}$

iii) $\mathrm{⟨}\mathrm{X}\mathrm{,}\mathrm{Y}\mathrm{⟩}\mathrm{=}\mathrm{⟨}\mathrm{Y}\mathrm{,}\mathrm{X}\mathrm{⟩}$

iv) $\mathrm{⟨}\mathrm{X}\mathrm{,}\mathrm{X}\mathrm{⟩}\mathrm{>}\mathrm{0}$ cuando $\mathrm{X}\mathrm{\ne }\mathrm{0}$

v) $\mathrm{⟨}\mathrm{X}\mathrm{,}\mathrm{X}\mathrm{⟩}\mathrm{=}\mathrm{0}$ si y solo si $\mathrm{X}\mathrm{=}\mathrm{0}$,

es decir, $\mathrm{⟨}\mathrm{\hspace{1em}}\mathrm{,}\mathrm{⟩}$ es un mapeo bilineal, simétrico y positivo-definido.

1. El conjunto de transformaciones lineales también es un e.v.

2. Sean $V$ y $W$ dos espacios vectoriales reales de dimensión finita.Entonces su producto tensorial $V\otimes W$ es el espacio vectorial real de dimensión igual alproducto de $dimV$ por $dimW$, y cuya base son los símbolos:

   $$b_i\otimes c_j$$

   donde los $b_i$ son base para $V$ y los $c_j$ base para $W$.

   Por ejemplo, si $V=⟨\{b_1,b_2,\mathrm{\dots },b_8\}⟩$ y $W=⟨\{c_1,c_2,\mathrm{\dots },c_{11}\}⟩$entonces

   $$V\otimes W=⟨\{b_1\otimes c_1,b_1\otimes c_2,b_1\otimes c_3,\mathrm{\dots },b_8\otimes c_{11}\}⟩$$

   de donde vemos que $dim(V\otimes W)=88$.

3. Un elemento típico $B\in V\otimes W$ se escribe como una combinación lineal de los $b_i\otimes c_j$:

   $$B=B^{\mu \nu }{b}_{\mu }\otimes c_{\nu }$$

   donde se esta usando la convención de la suma de Einstein y que significa:

   $$B^{\mu \nu }{b}_{\mu }\otimes c_{\nu }=B^{11}{b}_1\otimes c_1+B^{12}{b}_1\otimes c_2+B^{21}{b}_2\otimes c_1+\mathrm{\cdots }+B^{8,11}{b}_8\otimes c_{11}$$

4. El espacio dual $V^{*}$es el conjunto de transformaciones lineales$V\to R$ también llamados funcionales lineales ocovectores.
   $V^{*}$ es un espacio vectorial con la suma $(f+g)(X)=f(X)+g(X)$ y la acción de los escalares vía$(rf)(X)=rf(X)=f(rX)$.

5. Cada $f\in V^{*}$ puede representarse a través de

   $$f(X)=⟨X,a⟩,$$

   donde $a\in V$ es fijo (Lema de Riesz).
   O dicho de otra forma: las únicas transformaciones lineales$V\mathrm{\to }R$ son

   $$X⟼⟨X,a⟩$$

6. Sea $\{b_1,\mathrm{\dots },b_n\}$ una base para $V$ entonces la matriz deGram o tensor métrico de esta base es

   $$G=\left[\begin{array}{c}\hfill g_{ij}=⟨b_i,b_j⟩\hfill \end{array}\right].$$

   Tal matriz $G=[g_{ij}]$ es no singular debido a la independencia linealde los $b_i$.

7. Se denota con $g^{ij}$ las entradas de la matriz $G^{-1}={[g_{ij}]}^{-1}$.Observe que ${\sum }_k{g}^{ik}{g}_{kj}={\delta }_j^i$ y que ${\sum }_k{g}_{ik}{g}^{kj}={\delta }_i^j$.Que mediante la convención de la suma se escribe solamente

   $$g^{ik}{g}_{kj}={\delta }_j^i$$

   pues $G^{-1}G=1$ como producto de matrices,y

   $$g_{ik}{g}^{kj}={\delta }_i^j.$$

   ya que $G{G}^{-1}=1$ también como producto de matrices.

8. La base reciproca $b^i$ a $b_i$ se construye con

   $$b^i=g^{ij}{b}_j,$$

   con suma sobre $j$. Enfaticemos que $g^{ij}{b}_j=g^{i1}{b}_1+g^{i2}{b}_2+\mathrm{\cdots }{g}^{in}{b}_n$

9. Representamos con $b^i$ los covectores

   $${\beta }^i(\mathit{\hspace{1em}}):=⟨\mathit{\hspace{1em}},b^i⟩,$$

   ${\beta }^i$ que llamaremos covectores básicos.

10. Si $a\in V$ entonces $a=a^i{b}_i$ con suma sobre $i$ (convención de la suma de Einstein). Los $a^i$ se llaman componentes contra-variantes de $a$.En la base reciproca $a=a_i{b}^i$ y llamamos a los $a_i$ componentes co-variantes de $a$.Estas son las leyes de subir y bajar indices .Tenemos el siguiente ”truco”

    $$a=a^i{b}_i=a^i{\delta }_i^j{b}_j=a^i{g}_{ik}{g}^{kj}{b}_j=a_k{b}^k$$

    lo que muestra como se escribe $a$ como combinación lineal en las dos bases: $b_i$ y $b^j$ de $V$.

11. La relación entre los componentes es entonces

    $$a_i=g_{ij}{a}^j$$

    o bien

    $$a^i=g^{ij}{a}_j.$$

12. Ahora si $f\in V^{*}$ entonces

    $$f(\mathit{\hspace{1em}})=⟨\mathit{\hspace{1em}},a⟩=⟨\mathit{\hspace{1em}},a_i{b}^i⟩=a_i⟨\mathit{\hspace{1em}},b^i⟩=a_i{\beta }^i(\mathit{\hspace{1em}})$$

    en otras palabras $f=a_i{\beta }^i$. Así los ${\beta }^i$ generan a $V^{*}$. Y por lo tanto$dimV=dim{V}^{*}$

13. $V^{*}$ también es euclideano. Sean $f,g\in V^{*}$ y $a,b\in V$ susrepresentantes respectivamente, entonces

    $${⟨f,g⟩}^{*}:=⟨a,b⟩$$

    define un producto interior en $V^{*}$.

14. Sea $V^{**}={(V^{*})}^{*}$ el dual del dual. Se identifica con $V$, pues si $T:V^{*}\to R$ entoncesexistirá $f\in V^{*}$ talque

    $$F(\mu )={⟨\mu ,f⟩}^{*}$$

    para todo covector $\mu$ y $f$ fija. Pero si $f(X)=⟨X,a⟩$ entonces la aplicación

    $$F⟼a,$$

    será un isomorfismo-isometría $V^{**}\cong V$.En otras palabras podemos representar con los elementos de $V$ a los$V^{**}$ mediante la fórmula

    $$F(\mu )={⟨\mu ,f⟩}^{*}=⟨m,a⟩=⟨a,m⟩=\mu (a)$$

    donde $\mu ()=⟨\mathit{\hspace{1em}},m⟩$.

    Mediante el mismo proceso de dualización que hicimos para construir $V^{*}$ desde $V$, ahora habráfuncionales lineales $B_i:V^{*}\to R$ dados mediante la fórmula

    $$B_i(\mathit{\hspace{1em}})={⟨\mathit{\hspace{1em}},{\beta }_i⟩}^{*}$$

    donde los ${\beta }_i=g_{ij}{\beta }^j$ son los básicos reciprocos de los ${\beta }^j$.Así

    $$F(\mathit{\hspace{1em}})={⟨\mathit{\hspace{1em}},f⟩}^{*}={⟨\mathit{\hspace{1em}},a^k{\beta }_k⟩}^{*}=a^k{⟨\mathit{\hspace{1em}},{\beta }_k⟩}^{*}=a^k{B}_k(\mathit{\hspace{1em}})$$

15. Una tranformación k-lineal covarianteo k-tensor covariante es un

    $$A:V\times \mathrm{\cdots }\times V\to R$$

    que satisface (para cualquiera sean los escalares $r,s$):

    $$A(r{X}_1+s{Y}_1,X_2,\mathrm{\dots },X_k)=rA(X_1,X_2,\mathrm{\dots },X_k)+sA(Y_1,X_2,\mathrm{\dots },X_k),$$

    $$A(X_1,r{X}_2+s{Y}_2,\mathrm{\dots },X_k)=rA(X_1,X_2,\mathrm{\dots },X_k)+sA(X_1,Y_2,\mathrm{\dots },X_k),$$

    $$\mathrm{\dots }$$

    $$A(X_1,X_2,\mathrm{\dots },r{X}_k+s{Y}_k)=rA(X_1,X_2,\mathrm{\dots },X_k)+sA(X_1,X_2,\mathrm{\dots },Y_k),$$

    Es decir $A$ es lineal en cada uno de sus $k$ argumentos.En estos términos $⟨,⟩$ es un mapeo $2$-lineal.También $det$ es $n$-lineal.

16. Similarmente las tranformaciones multilinealescontravarianteso los k-tensores contravariantesson los mapeos$k$-lineales

    $$B:V^{*}\times \mathrm{\cdots }\times V^{*}\to R.$$

17. Sean $T^{(k,0)}V$ el conjunto de los $k$-co tensores y $T^{(0,l)}V$los $l$-contra tensores. Ellos forman espacios vectoriales con lasoperaciones obvias. También es posible $T^{(k,l)}V$ que es elconjunto de los tensores mixtos $k$-covariantes y $l$-contravariantes.Se tiene que

18. Para contruir las bases (vectoriales) del espacio $T^{(2,0)}V$definimos el producto tensorialde basicos de $V^{*}$

    $${\beta }^i\otimes {\beta }^j(X,Y):={\beta }^i(X){\beta }^j(Y),$$

    para $2$ factores, siendo el lado derecho de la relación dearriba un simple producto en $R$.Similarmente para $p$ covectores básicos:

    $${\beta }^{i_1}\otimes \mathrm{\cdots }\otimes {\beta }^{i_p}(X_1,\mathrm{\dots },X_p):={\beta }^{i_1}(X_1)\mathrm{\cdots }{\beta }^{i_p}(X_p).$$

    No es difícil ver que tales construciones son verdaderamente transformaciones $p$-multilineales.

19. Para $T^{(0,l)}V$ tenemos

    $$b^{i_1}\otimes \mathrm{\cdots }\otimes b^{i_l}(f_1,\mathrm{\dots },f_l):=f_1(b^{i_1})\mathrm{\cdots }{f}_l(b^{i_l}),$$

    donde $f_i$ son $l$ covectores arbitrarios.

20. Para los mixtos vemos por ejemplo que en $T^{(1,1)}V$ tenemos

    $${\beta }^i\otimes b^j(X,f):={\beta }^i(X)f(b^j),$$

    …etc.

21. Con aquellas bases, si $A\in T^{(3,0)}V$ entonces

    $$A=A_{\mu \nu \lambda }{\beta }^{\mu }\otimes {\beta }^{\nu }\otimes {\beta }^{\lambda },$$

    ejemplo que ilustra el caso general para co-tensores.Los $A_{\mu \nu \lambda }$ se llaman componentes covariantesdel tensor $A$.

22. Sean $T\in T^{(k,0)}V$ y $W\in T^{(l,0)}V$ entonces $T\otimes W$será un $k+l$-tensor covariante cuyos componentes son

    $${(T\otimes W)}_{i_1\mathrm{\dots }{i}_{k+l}}=T_{i_1\mathrm{\dots }{i}_k}{W}_{i_{k+1}\mathrm{\dots }{i}_{k+l}}.$$

23. Con relaciones del tipo

    $$g^{\mu \nu }{T}_{\alpha \nu \lambda }=T_{\alpha }{}^{\mu }{}_{\lambda },$$

    (suma sobre $\nu$) se cambia de componentes covariantes a mixtos y acontravariantes.

24. Observe que

    $$T^{(1,0)}V=V^{*}.$$

    $$T^{(0,1)}V=V^{**}=V.$$

    $$T^{(1,1)}V=\mathrm{hom}(V,V).$$

25. También tenemos

    $$⟨,⟩=g_{ij}{\beta }^i\otimes {\beta }^j.$$

    Además de que podemos transformar $T^{(2,0)}V\to T^{(0,2)}V$isomórficamente conforme a

    $$A_{ij}{\beta }^i\otimes {\beta }^j\mapsto A^{ij}{b}_i\otimes b_j.$$

    visto como tensor $T^{(1,1)}V$ se vería como

    $$A_i{}^j{\beta }^i\otimes b_j.$$

26. Un tensor covariante se dice alternantesi cualquier cambio dedos indices en los componentes corresponde un cambio de signocon respecto al nuevo componente, como por ejemplo

    $$A_{\mu \nu \lambda \kappa }=-A_{\nu \mu \lambda \kappa }.$$

27. Sea ${\mathrm{\Lambda }}^{k}V$ el conjunto de todos los tensores $k$-covariantesalternantes, también llamados $k$-formas.${\mathrm{\Lambda }}^k(V)$ es un espacio vectorial.

28. La base para ${\mathrm{\Lambda }}^{2}V={\mathrm{\Lambda }}^2(V)$ se logra con el producto exterior

    ${\beta }^i\wedge {\beta }^j(X,Y)$$=$$({\beta }^i\otimes {\beta }^j-{\beta }^j\otimes {\beta }^i)(X,Y),$

    $=$${\beta }^i\otimes {\beta }^j(X,Y)-{\beta }^j\otimes {\beta }^i(X,Y),$

    $=$${\beta }^i(X){\beta }^j(Y)-{\beta }^j(X){\beta }^i(Y).$

    Esta construcción es bilineal y alternante.${\beta }^i\wedge {\beta }^j$ se llama bivector básico.

    Observe que

    $${\beta }^i\wedge {\beta }^i=0,$$

    $${\beta }^i\wedge {\beta }^j=-{\beta }^j\wedge {\beta }^i.$$

    Por lo tanto

    $$dim{\mathrm{\Lambda }}^{2}V=n!/2!(n-2)!=\left(\genfrac{}{}{0pt}{}{n}{2}\right).$$

29. Similarmente ${\mathrm{\Lambda }}^{3}V$ es el espacio de las 3-formas que esta generadopor la construcción;

    $${\beta }^i\wedge {\beta }^j\wedge {\beta }^k=\sum _{p\in S_3}{(-1)}^p{\beta }^{p(i)}\otimes {\beta }^{p(j)}\otimes {\beta }^{p(k)},$$

    donde $S_3$ son las $6$ permutaciones de $\{i,j,k\}$ y ${(-1)}^p$ suparidad.

    Observe que

    $${\beta }^i\wedge {\beta }^j\wedge {\beta }^k(b_s,b_t,b_u)={\delta }_s^i{\delta }_t^j{\delta }_u^k-{\delta }_s^i{\delta }_t^k{\delta }_u^j+{\delta }_s^k{\delta }_t^i{\delta }_u^j-{\delta }_s^k{\delta }_t^j{\delta }_u^i+{\delta }_s^j{\delta }_t^k{\delta }_u^i-{\delta }_s^j{\delta }_t^i{\delta }_u^k$$

    Entonces ${\beta }^i\wedge {\beta }^j\wedge {\beta }^k(b_s,b_u,b_t)=0$ si los conjuntos$\{i,j,k\}$ y $\{s,t,u\}$ son diferentes.

    Además si $X=X^s{b}_s,Y=Y^t{b}_t,Z=Z^u{b}_u$ entonces

    $${\beta }^i\wedge {\beta }^j\wedge {\beta }^k(X,Y,Z)=X^i{Y}^j{Z}^k-X^i{Y}^k{Z}^j+X^k{Y}^i{Z}^j-X^k{Y}^j{Z}^i+X^j{Y}^k{Z}^i-X^j{Y}^i{Z}^k$$

    
    
    
    

    Entonces

    $$dim{\mathrm{\Lambda }}^{3}V=n!/3!(n-3)!=\left(\genfrac{}{}{0pt}{}{n}{3}\right).$$

30. No es difícil visualizar que

    $$dim{\mathrm{\Lambda }}^{k}V=n!/k!(n-k)!=\left(\genfrac{}{}{0pt}{}{n}{n-k}\right).$$

    Y que ${\mathrm{\Lambda }}^{n+r}V=0$ para cada $r\in Z$.

31. Sea $A:V\to W$ una transformación lineal y si $f:W\to R$ es un covector en $W$ entoncespodemos hacer el ”pullback” de $f$, denotado y calculado mediante

    $$A^{*}(f)=f\cdot A$$

    Observe que esto último es la composición $V\stackrel{A}{\to }W\stackrel{f}{\to }R$.En otras palabras tenemos que $A$ induce una transformación lineal $A^{*}:W^{*}\to V^{*}$.

******************

1. ?‘ Cuál es la dimensión de espacio vectorial real $\mathrm{⟨}\mathrm{\{}{\mathrm{b}}_{\mathrm{i}}\mathrm{\otimes }{\mathrm{b}}_{\mathrm{j}}\mathrm{\}}\mathrm{⟩}$ (generado por los ${\mathrm{b}}_{\mathrm{i}}\mathrm{\otimes }{\mathrm{b}}_{\mathrm{j}}$) ?
RESP: solo hay ${\mathrm{n}}^{\mathrm{2}}$ objetos basicos:

$$b_1\otimes b_1$$

$$b_1\otimes b_2$$

$$b_1\otimes b_3$$

$$\mathrm{\dots }$$

$$b_1\otimes b_n$$

$$b_2\otimes b_1$$

$$b_2\otimes b_2$$

$$\mathrm{\dots }$$

$$\mathrm{\dots }$$

$$b_{n-1}\otimes b_n$$

$$b_n\otimes b_1$$

$$b_n\otimes b_2$$

$$\mathrm{\dots }$$

$$b_n\otimes b_n$$

para escribir combinaciones lineales

$$B=B^{ij}{b}_i\otimes b_j=B^{11}{b}_1\otimes b_1+B^{12}{b}_1\otimes b_2+\mathrm{\dots }+B^{nn}{b}_n\otimes b_n$$

estos $\mathrm{B}$ son los 2-contra-tensores.

 

2. ?‘ Y de $\mathrm{⟨}\mathrm{\{}{\mathrm{b}}_{{\mathrm{i}}_{\mathrm{1}}}\mathrm{\otimes }\mathrm{\cdots }\mathrm{\otimes }{\mathrm{b}}_{{\mathrm{i}}_{\mathrm{k}}}\mathrm{\}}\mathrm{⟩}$?
RESP: solo hay ${\mathrm{n}}^{\mathrm{k}}$ objetos basicos:

$$b_1\otimes b_1\otimes \mathrm{\dots }\otimes b_1$$

$$b_1\otimes b_1\otimes \mathrm{\dots }\otimes b_2$$

$$b_1\otimes b_1\otimes \mathrm{\dots }\otimes b_3$$

$$\mathrm{\dots }$$

$$b_1\otimes b_1\otimes \mathrm{\dots }\otimes b_n$$

$$b_1\otimes b_2\otimes \mathrm{\dots }\otimes \mathrm{\dots }{b}_1$$

$$b_1\otimes b_2\otimes \mathrm{\dots }\otimes \mathrm{\dots }{b}_2$$

$$\mathrm{\dots }$$

$$b_1\otimes b_2\otimes \mathrm{\dots }\otimes b_n$$

$$\mathrm{\dots }$$

$$\mathrm{\dots }$$

$$b_{n-1}\otimes b_n\otimes \mathrm{\dots }\otimes b_1$$

$$\mathrm{\dots }$$

$$b_{n-1}\otimes b_n\otimes \mathrm{\dots }\otimes b_n$$

$$b_n\otimes b_n\otimes \mathrm{\dots }\otimes b_1$$

$$b_n\otimes b_n\otimes \mathrm{\dots }\otimes b_2$$

$$\mathrm{\dots }$$

$$\mathrm{\dots }$$

$$b_n\otimes b_n\otimes \mathrm{\dots }\otimes b_n$$

 

3. La relación con la geometría esta dada mediante la substitución

$$b_k={\partial }_k=\frac{\partial }{\partial x^k}$$

donde

$${\partial }_k={d\mathrm{\Phi }|}_p{e}_k$$

y donde $\mathrm{\Phi }$ es una parametrización local$\mathrm{\Phi }\mathrm{:}\mathrm{D}\mathrm{\to }\mathrm{M}\mathrm{\subset }{\mathrm{R}}^{\mathrm{N}}$.

?‘ Cuál es la dimensión de ${\mathrm{\Omega }}^{\mathrm{r}}\mathsf{}\mathrm{(}{\mathrm{T}}_{\mathrm{p}}\mathsf{}\mathrm{M}\mathrm{)}$, siendo ${\mathrm{T}}_{\mathrm{p}}\mathsf{}\mathrm{M}$ de dimensión $\mathrm{n}$?

4. Si $\mathrm{f}\mathrm{:}\mathrm{U}\mathrm{\to }\mathrm{V}$ y $\mathrm{g}\mathrm{:}\mathrm{V}\mathrm{\to }\mathrm{W}$ son tranformaciones lineales entre espacios vectoriales reales demuestre que ${\mathrm{(}\mathrm{g}\mathrm{\circ }\mathrm{f}\mathrm{)}}^{\mathrm{*}}\mathrm{=}{\mathrm{f}}^{\mathrm{*}}\mathrm{\circ }{\mathrm{g}}^{\mathrm{*}}$.

5. Explique como transforman las 2-formas, si cambiamos de coordenadas.

6. Calcule los ${\mathrm{\Gamma }}_{\mathrm{j}\mathsf{}\mathrm{k}}^{\mathrm{i}}$ para la parametrizacón $\mathrm{\Phi }\mathsf{}\mathrm{(}\mathrm{v}\mathrm{,}\mathrm{w}\mathrm{)}\mathrm{=}\mathrm{(}\mathrm{5}\mathsf{}\mathrm{v}\mathrm{+}\mathrm{3}\mathsf{}\mathrm{w}\mathrm{-}\mathrm{1}\mathrm{,}\mathrm{-}\mathrm{v}\mathrm{+}\mathrm{7}\mathsf{}\mathrm{w}\mathrm{,}\mathrm{-}\mathrm{2}\mathsf{}\mathrm{v}\mathrm{+}\mathrm{3}\mathrm{)}$.

7. Calcular todos los ${\mathrm{\Gamma }}_{\mathrm{j}\mathsf{}\mathrm{k}}^{\mathrm{i}}$ para el paraboloide $\mathrm{(}\mathrm{v}\mathrm{,}\mathrm{w}\mathrm{)}\mathrm{\mapsto }\mathrm{(}\mathrm{v}\mathrm{,}\mathrm{w}\mathrm{,}{\mathrm{v}}^{\mathrm{2}}\mathrm{+}{\mathrm{w}}^{\mathrm{2}}\mathrm{)}$. (Resuelto en cursur.pdf)

8. ?‘ Cuál es el volumen generado por los campos vectoriales $\mathrm{S}\mathsf{}\mathrm{(}\mathrm{u}\mathrm{,}\mathrm{v}\mathrm{,}\mathrm{w}\mathrm{)}\mathrm{=}\mathrm{(}\mathrm{2}\mathsf{}\mathrm{u}\mathrm{+}\mathrm{v}\mathrm{,}\mathrm{w}\mathrm{+}\mathrm{1}\mathrm{,}\mathrm{v}\mathsf{}\mathrm{w}\mathrm{)}$ , $\mathrm{T}\mathsf{}\mathrm{(}\mathrm{u}\mathrm{,}\mathrm{v}\mathrm{,}\mathrm{w}\mathrm{)}\mathrm{=}\mathrm{(}\mathrm{u}\mathrm{,}\mathrm{v}\mathrm{+}\mathrm{w}\mathrm{,}{\mathrm{w}}^{\mathrm{2}}\mathrm{)}$ y ${\mathrm{D}}_{\mathrm{S}}\mathsf{}\mathrm{T}$ en el punto $\mathrm{p}\mathrm{=}\mathrm{(}\mathrm{1}\mathrm{,}\mathrm{1}\mathrm{,}\mathrm{2}\mathrm{)}$?

9. Sean $\mathrm{a}\mathrm{=}\mathrm{(}{\mathrm{a}}_{\mathrm{1}}\mathrm{,}{\mathrm{a}}_{\mathrm{2}}\mathrm{,}\mathrm{\dots }\mathrm{,}{\mathrm{a}}_{\mathrm{n}}\mathrm{)}$ y $\mathrm{b}\mathrm{=}\mathrm{(}{\mathrm{b}}_{\mathrm{1}}\mathrm{,}{\mathrm{b}}_{\mathrm{2}}\mathrm{,}\mathrm{\dots }\mathrm{,}{\mathrm{b}}_{\mathrm{n}}\mathrm{)}$. Definimos

$$a{\times }_{1}b=a_1{b}_2-a_2{b}_1$$

Demuestre que ${\mathrm{\times }}_{\mathrm{1}}$ define un mapeo bilineal ${\mathrm{R}}^{\mathrm{n}}\mathrm{\times }{\mathrm{R}}^{\mathrm{n}}\mathrm{\to }\mathrm{R}$.
RESP: Se debe ver que si ponemos una combinación lineal en la primera entrada

$$(ka+k^{\prime }{a}^{\prime }){\times }_{1}b=k(a{\times }_{1}b)+k^{\prime }(a^{\prime }{\times }_{1}b)$$

y también en la segunda

$$a{\times }_1(kb+k^{\prime }{b}^{\prime })=k(a{\times }_{1}b)+k^{\prime }(a{\times }_1{b}^{\prime })$$

 

10. Similar al anterior pero con

$$a{\times }_{2}b=a_1{b}_3-a_3{b}_1$$

11. ?‘ Cuántos mapeos bilineales como los previos se pueden construir cuando $\mathrm{n}\mathrm{=}\mathrm{4}$?

12. Demuestre que ${\mathrm{\nabla }}_{{\mathrm{\partial }}_{\mathrm{k}}}\mathsf{}\mathrm{(}\mathrm{d}\mathsf{}{\mathrm{x}}^{\mathrm{a}}\mathrm{\wedge }\mathrm{d}\mathsf{}{\mathrm{x}}^{\mathrm{b}}\mathrm{)}$ satisface la regla de Leibniz.

13. Diga como son los componentes $\mathrm{A}^{\mathrm{\mu }}{}_{\mathrm{\nu }}{}_{\mathrm{;}\mathrm{k}}$ en términos de derivadas parciales y symbolos de Chistoffel, para un tensor mixto$\mathrm{A}\mathrm{=}\mathrm{A}^{\mathrm{\mu }}{}_{\mathrm{\nu }}\mathsf{}{\mathrm{\partial }}_{\mathrm{\mu }}\mathrm{\otimes }\mathrm{d}\mathsf{}{\mathrm{x}}^{\mathrm{\nu }}$.

14. Sean $\mathrm{A}\mathrm{=}{\mathrm{A}}^{\mathrm{\mu }\mathsf{}\mathrm{\nu }}\mathsf{}{\mathrm{\partial }}_{\mathrm{\mu }}\mathrm{\otimes }{\mathrm{\partial }}_{\mathrm{\nu }}$ y $\mathrm{B}\mathrm{=}{\mathrm{B}}^{\mathrm{\sigma }\mathsf{}\mathrm{\tau }}\mathsf{}{\mathrm{\partial }}_{\mathrm{\sigma }}\mathrm{\otimes }{\mathrm{\partial }}_{\mathrm{\tau }}$ dos contratensores de rango 2. Definimos

$${⟨A,B⟩}_2=g_{\nu \sigma }{g}_{\mu \tau }{A}^{\mu \nu }{B}^{\sigma \tau }=A^{\mu }{}_{\sigma }B^{\sigma }{}_{\mu }$$

Verifique que ${\mathrm{⟨}\mathrm{\hspace{1em}}\mathrm{,}\mathrm{⟩}}_{\mathrm{2}}$ define un producto interior entre los contratensores de rango 2.
RESP: Se deben de checar los axiomas de espacio vectorial con producto interior:

i) Bilinealidad: ${\mathrm{⟨}\mathrm{k}\mathsf{}\mathrm{A}\mathrm{+}{\mathrm{k}}^{\mathrm{\prime }}\mathsf{}{\mathrm{A}}^{\mathrm{\prime }}\mathrm{,}\mathrm{B}\mathrm{⟩}}_{\mathrm{2}}\mathrm{=}\mathrm{k}\mathsf{}{\mathrm{⟨}\mathrm{A}\mathrm{,}\mathrm{B}\mathrm{⟩}}_{\mathrm{2}}\mathrm{+}{\mathrm{k}}^{\mathrm{\prime }}\mathsf{}{\mathrm{⟨}{\mathrm{A}}^{\mathrm{\prime }}\mathrm{,}\mathrm{B}\mathrm{⟩}}_{\mathrm{2}}$ y
${\mathrm{⟨}\mathrm{A}\mathrm{,}\mathrm{k}\mathsf{}\mathrm{B}\mathrm{+}{\mathrm{k}}^{\mathrm{\prime }}\mathsf{}{\mathrm{B}}^{\mathrm{\prime }}\mathrm{⟩}}_{\mathrm{2}}\mathrm{=}\mathrm{k}\mathsf{}{\mathrm{⟨}\mathrm{A}\mathrm{,}\mathrm{B}\mathrm{⟩}}_{\mathrm{2}}\mathrm{+}{\mathrm{k}}^{\mathrm{\prime }}\mathsf{}{\mathrm{⟨}\mathrm{A}\mathrm{,}\mathrm{B}\mathrm{⟩}}_{\mathrm{2}}$;

ii) Simetría: ${\mathrm{⟨}\mathrm{A}\mathrm{,}\mathrm{B}\mathrm{⟩}}_{\mathrm{2}}\mathrm{=}{\mathrm{⟨}\mathrm{B}\mathrm{,}\mathrm{A}\mathrm{⟩}}_{\mathrm{2}}$;

iii) Positivo definido: ${\mathrm{⟨}\mathrm{A}\mathrm{,}\mathrm{A}\mathrm{⟩}}_{\mathrm{2}}\mathrm{\ge }\mathrm{0}$ si $\mathrm{A}\mathrm{\ne }\mathrm{0}$;

iv) No degeneado: ${\mathrm{⟨}\mathrm{A}\mathrm{,}\mathrm{A}\mathrm{⟩}}_{\mathrm{2}}\mathrm{=}\mathrm{0}$ si y solo si $\mathrm{A}\mathrm{=}\mathrm{0}$.

 

15. ?‘ Cuál es la ley de transformación de ${\mathrm{\nabla }}_{{\mathrm{\partial }}_{\mathrm{k}}}\mathsf{}{\mathrm{\partial }}_{\mathrm{l}}$ cuando cambiamos coordenadas?

RESP: Por un lado tenemos

$${\mathrm{\Gamma }}_{ij}^s{\partial }_s={\nabla }_{{\partial }_i}{\partial }_j\mathit{\hspace{1em}}\mathsf{\text{tanto como}}\mathit{\hspace{1em}}{\tilde{\mathrm{\Gamma }}}_{ij}^s{\tilde{\partial }}_s={\nabla }_{{\tilde{\partial }}_i}\tilde{\partial }$$

y como

$${\partial }_k=\frac{\partial y^s}{\partial x^k}{\tilde{\partial }}_s\mathit{\hspace{1em}}\text{𝘪𝘮𝘱𝘭𝘪𝘤𝘢}\mathit{\hspace{1em}}{\tilde{\partial }}_k=\frac{\partial x^s}{\partial y^k}{\partial }_s$$

entonces

$${\tilde{\mathrm{\Gamma }}}_{ij}^s{\tilde{\partial }}_s={\nabla }_{{\tilde{\partial }}_i}{\tilde{\partial }}_j={\nabla }_{(\frac{\partial x^s}{\partial y^i}{\partial }_s)}(\frac{\partial x^t}{\partial y^j}{\partial }_t)=\frac{\partial x^s}{\partial y^i}{\nabla }_{{\partial }_s}(\frac{\partial x^t}{\partial y^j}{\partial }_t)$$

$${\tilde{\mathrm{\Gamma }}}_{ij}^s{\tilde{\partial }}_s=\frac{\partial x^s}{\partial y^i}\left[\begin{array}{c}\hfill \frac{\partial }{\partial x^s}(\frac{\partial x^t}{\partial y^j}){\partial }_t+\frac{\partial x^t}{\partial y^j}{\nabla }_{{\partial }_s}{\partial }_t\hfill \end{array}\right]$$

$$=\frac{\partial x^s}{\partial y^i}\left[\begin{array}{c}\hfill \frac{\partial }{\partial x^s}(\frac{\partial x^t}{\partial y^j}){\partial }_t+\frac{\partial x^t}{\partial y^j}{\mathrm{\Gamma }}_{st}^r{\partial }_r\hfill \end{array}\right]$$

$$=\frac{\partial x^s}{\partial y^i}\left[\begin{array}{c}\hfill \frac{\partial }{\partial x^s}(\frac{\partial x^t}{\partial y^j})+\frac{\partial x^r}{\partial y^j}{\mathrm{\Gamma }}_{sr}^t\hfill \end{array}\right]{\partial }_t$$

$$=\left[\begin{array}{c}\hfill \frac{\partial }{\partial x^s}(\frac{\partial x^t}{\partial y^j})\frac{\partial x^s}{\partial y^i}+\frac{\partial x^r}{\partial y^j}\frac{\partial x^s}{\partial y^i}{\mathrm{\Gamma }}_{sr}^t\hfill \end{array}\right]{\partial }_t$$

pero${\mathrm{\partial }}_{\mathrm{t}}\mathrm{=}\frac{\mathrm{\partial }\mathsf{}{\mathrm{y}}^{\mathrm{u}}}{\mathrm{\partial }\mathsf{}{\mathrm{x}}^{\mathrm{t}}}\mathsf{}{\stackrel{\mathrm{~}}{\mathrm{\partial }}}_{\mathrm{u}}$entonces

$${\tilde{\mathrm{\Gamma }}}_{ij}^u{\tilde{\partial }}_u=\left[\begin{array}{c}\hfill \frac{\partial }{\partial x^s}(\frac{\partial x^t}{\partial y^j})\frac{\partial x^s}{\partial y^i}\frac{\partial y^u}{\partial x^t}+\frac{\partial x^r}{\partial y^j}\frac{\partial x^s}{\partial y^i}{\mathrm{\Gamma }}_{sr}^t\frac{\partial y^u}{\partial x^t}\hfill \end{array}\right]{\tilde{\partial }}_u$$

por lo tanto

$${\tilde{\mathrm{\Gamma }}}_{ij}^u=\frac{\partial }{\partial x^s}(\frac{\partial x^t}{\partial y^j})\frac{\partial x^s}{\partial y^i}\frac{\partial y^u}{\partial x^t}+\frac{\partial x^r}{\partial y^j}\frac{\partial x^s}{\partial y^i}{\mathrm{\Gamma }}_{sr}^t\frac{\partial y^u}{\partial x^t}$$

$${\tilde{\mathrm{\Gamma }}}_{ij}^u=\frac{{\partial }^2{x}^t}{\partial y^j\partial y^i}\frac{\partial y^u}{\partial x^t}+\frac{\partial x^r}{\partial y^j}\frac{\partial x^s}{\partial y^i}{\mathrm{\Gamma }}_{sr}^t\frac{\partial y^u}{\partial x^t}$$

 

16. ?‘ Y de ${\mathrm{\nabla }}_{{\mathrm{\partial }}_{\mathrm{k}}}\mathsf{}\mathrm{A}\mathrm{\otimes }\mathrm{B}$donde $\mathrm{A}\mathrm{,}\mathrm{B}$ son 1-covariantes?

17 ?‘ Y de la derivada covariante en dirección $\mathrm{X}$ de un mixto 2-covariante y 1-contravariante?

Los siguientes ejemplos estan dedicados a mi amigo Perucho de Venezuela…

18.- Demuestre que ${\mathrm{\Gamma }}_{\mathrm{i}\mathsf{}\mathrm{r}}^{\mathrm{i}}\mathrm{=}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathsf{}{\mathrm{g}}^{\mathrm{i}\mathsf{}\mathrm{s}}\mathsf{}{\mathrm{g}}_{\mathrm{s}\mathsf{}\mathrm{i}\mathrm{,}\mathrm{r}}$.

RESP: Desde la definición${\mathrm{\Gamma }}_{\mathrm{j}\mathsf{}\mathrm{r}}^{\mathrm{i}}\mathrm{=}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathsf{}{\mathrm{g}}^{\mathrm{i}\mathsf{}\mathrm{s}}\mathsf{}\mathrm{\left[}\begin{array}{c}\hfill {\mathrm{g}}_{\mathrm{j}\mathsf{}\mathrm{s}\mathrm{,}\mathrm{r}}\mathrm{+}{\mathrm{g}}_{\mathrm{s}\mathsf{}\mathrm{r}\mathrm{,}\mathrm{j}}\mathrm{-}{\mathrm{g}}_{\mathrm{j}\mathsf{}\mathrm{r}\mathrm{,}\mathrm{s}}\hfill \end{array}\mathrm{\right]}$ haciendo $\mathrm{j}\mathrm{=}\mathrm{i}$ tendremos

$${\mathrm{\Gamma }}_{ir}^i=\frac{1}{2}{g}^{is}\left[\begin{array}{c}\hfill g_{is,r}+g_{sr,i}-g_{ir,s}\hfill \end{array}\right]$$

$${\mathrm{\Gamma }}_{ir}^i=\frac{1}{2}\left[\begin{array}{c}\hfill g^{is}{g}_{is,r}+g^{is}{g}_{sr,i}-g^{is}{g}_{ir,s}\hfill \end{array}\right]$$

$$=\frac{1}{2}\left[\begin{array}{c}\hfill g^{is}{g}_{is,r}+g^{is}{g}_{sr,i}-g^{si}{g}_{sr,i}\hfill \end{array}\right]$$

$${\mathrm{\Gamma }}_{ir}^i=\frac{1}{2}{g}^{is}{g}_{is,r}$$

 

19. El siguiente esquema permite encontrar la matriz de una transformación lineal (definida usando la base standar) en un cambio de base:

${\mathrm{R}}^{\mathrm{3}}\mathrm{,}\mathrm{e}$${\mathrm{R}}^{\mathrm{3}}\mathrm{,}\mathrm{e}$${\mathrm{R}}^{\mathrm{3}}\mathrm{,}\mathrm{b}$${\mathrm{R}}^{\mathrm{3}}\mathrm{,}\mathrm{b}$ h//C   h//C   h//C