Euler-Maclaurin summation formula

Let $B_{r}$ be the $r\\mbox{th}$ Bernoulli number, and $B_{r}(x)$ be the $r\\mbox{th}$ Bernoulli periodic function. For any integer $k\\geq 0$ and for any function $f$ of class $C^{k+1}$ on $[a,b],a,b\\in\\mathbb{Z}$ , we have

\\sum_{a<n\\leq b}f(n)=\\int_{a}^{b}f(t)dt+\\sum_{r=0}^{k}\\frac{(-1)^{r+1}B_{r+1}}%{(r+1)!}(f^{(r)}(b)-f^{(r)}(a))+\\frac{(-1)^{k}}{(k+1)!}\\int_{a}^{b}B_{k+1}(t)f%^{(k+1)}(t)dt.

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