Principios de álgebra multilineal

ÁLGEBRA MULTILINEAL

DE ESPACIOS VECTORIALES REALES

CON PRODUCTO INTERIOR

Juan M. Márquez B.

Principios de álgebra multilinealSea $\mathrm{V}$ un espacio vectorial sobre los reales $\mathrm{R}$ de dimensión $\mathrm{n}$. Si los objetos ${\mathrm{b}}_{\mathrm{1}}\mathrm{,}{\mathrm{b}}_{\mathrm{2}}\mathrm{,}\mathrm{\dots }\mathrm{,}{\mathrm{b}}_{\mathrm{n}}$ es una baseentonces usamos la notación

$$V=⟨\left\{b_i\right\}⟩=⟨\{b_1,b_2,\mathrm{\dots },b_n\}⟩$$

para indicar que cada $\mathrm{X}$ vector en $\mathrm{V}$ se escribe como combinación lineal de los ${\mathrm{b}}_{\mathrm{i}}$.

Espacio dual

El espacio dual de $\mathrm{V}$ se define como el conjunto ${\mathrm{V}}^{\mathrm{*}}$ de los funcionales lineales $\mathrm{V}\mathrm{\to }\mathrm{R}$.Resulta que ${\mathrm{V}}^{\mathrm{*}}$ también es una espacio vectorial.

?‘ Cuál es una base y la dimensión de este espacio?

Considere las transformaciones (una para cada $\mathrm{i}$)

$${\beta }^i:V\to R$$

definida por

$$X\mapsto {\beta }^i\left(X\right)=X^i,$$

donde $\mathrm{X}\mathrm{=}{\mathrm{X}}^{\mathrm{s}}\mathsf{}{\mathrm{b}}_{\mathrm{s}}$ (convención de la suma de Einstein).

Así ${\mathrm{\beta }}^{\mathrm{i}}$ es una función lineal.En otras palabras, el funcional ${\mathrm{\beta }}^{\mathrm{i}}$ ”extrae” el $\mathrm{i}$-esimo componente de $\mathrm{X}$ y cumple linealidad:

$${\beta }^i\left(aX\right)=a{\beta }^i\left(X\right)$$

$${\beta }^i\left(X+Y\right)={\beta }^i\left(X\right)+{\beta }^i\left(Y\right)$$

para cualesquiera escalar $\mathrm{a}$ y vectores $\mathrm{X}\mathrm{,}\mathrm{Y}$.

Los elementos de ${\mathrm{V}}^{\mathrm{*}}$ también se llaman covectores.

Todo elemento $\mathrm{f}\mathrm{\in }{\mathrm{V}}^{\mathrm{*}}$ se escribe así ;

$$f=f_s{\beta }^s$$

donde los componentes satisfacen ${\mathrm{f}}_{\mathrm{s}}\mathrm{=}\mathrm{f}\mathsf{}\mathrm{(}{\mathrm{b}}_{\mathrm{s}}\mathrm{)}$

Producto tensorial

Sean $\mathrm{V}\mathrm{,}\mathrm{W}$ dos espacios vectoriales sobre los reales $\mathrm{R}$.Indicamos con

$$V=⟨\{b_1,\mathrm{\dots },b_n\}⟩$$

que el espacio $\mathrm{V}$ está generado por los vectores básicos ${\mathrm{b}}_{\mathrm{i}}$.En otras palabras; si $\mathrm{X}\mathrm{\in }\mathrm{V}$ entonces

$$X=X^s{b}_s$$

es la combinación lineal$\mathrm{X}\mathrm{=}{\mathrm{X}}^{\mathrm{1}}\mathsf{}{\mathrm{b}}_{\mathrm{1}}\mathrm{+}{\mathrm{X}}^{\mathrm{2}}\mathsf{}{\mathrm{b}}_{\mathrm{2}}\mathrm{+}\mathrm{\cdots }\mathrm{+}{\mathrm{X}}^{\mathrm{n}}\mathsf{}{\mathrm{b}}_{\mathrm{n}}$.

Si $\mathrm{W}\mathrm{=}\mathrm{⟨}\mathrm{\{}{\mathrm{d}}_{\mathrm{1}}\mathrm{,}\mathrm{\dots }\mathrm{,}{\mathrm{d}}_{\mathrm{m}}\mathrm{\}}\mathrm{⟩}$ es otro espacio vectorial, entonces definimos

$$V\otimes W=⟨\{b_1\otimes d_1,b_1\otimes d_2,\mathrm{\dots },b_n\otimes d_m,\}⟩,$$

esto implica que si $\mathrm{B}\mathrm{\in }\mathrm{V}\mathrm{\otimes }\mathrm{W}$ entonces

$$B=B^{st}{b}_s\otimes d_t$$

lo cual es la combinación lineal bi-indexada:

$$B=B^{11}{b}_1\otimes d_1+B^{12}{b}_1\otimes d_2+\mathrm{\cdots }+B^{nm}{b}_n\otimes d_m$$

Los objetos en $\mathrm{V}\mathrm{\otimes }\mathrm{V}$ se llaman tensor contravariante de rango 2 en $\mathrm{V}$ o bien un2-contratensor.

Los objetos en ${\mathrm{V}}^{\mathrm{*}}\mathrm{\otimes }{\mathrm{V}}^{\mathrm{*}}$ se llaman tensor covariante de rango 2 en $\mathrm{V}$ o bien un2-cotensor.

Los objetos en ${\mathrm{V}}^{\mathrm{*}}\mathrm{\otimes }\mathrm{V}$ se llaman tensor mixto de rango 2 en $\mathrm{V}$.

Multilinealidad

Los elementos básicos de ${\mathrm{V}}^{\mathrm{*}}\mathrm{\otimes }{\mathrm{V}}^{\mathrm{*}}$ pueden ser visualizados como transformaciones bilineales

$${\beta }^i\otimes {\beta }^j:V\times V\to R$$

mediante la asignación dada por

$$(X,Y)\mapsto {\beta }^i\otimes {\beta }^j(X,Y)={\beta }^i\left(X\right){\beta }^j\left(Y\right)=X^i{Y}^j$$

Similarmente los elementos básicos de $\mathrm{V}\mathrm{\otimes }\mathrm{V}$ pueden ser considerados como mapas bilineales

$$b_i\otimes b_j:V^{*}\otimes V^{*}\to R$$

mediante la asignación

$$(f,g)\mapsto b_i\otimes b_j(f,g)=f\left(b_i\right)g\left(b_j\right)=f_i{g}_j$$

Un elemento básico de ${\mathrm{V}}^{\mathrm{*}}\mathrm{\otimes }\mathrm{V}$ se puede ver como un mapa bilineal

$$V\times V^{*}\to R$$

mediante la fórmula

$$(X,f)\mapsto {\beta }^i\otimes b_j(X,f)={\beta }^i\left(X\right)f\left(b_j\right)=X^i{f}_j$$

Efectivamente estas reglas son bilineales, pues por ejemplo,para cualesquiera escalares $\mathrm{a}\mathrm{,}\mathrm{c}\mathrm{\in }\mathrm{R}$ y vectores $\mathrm{X}\mathrm{,}\mathrm{Y}\mathrm{,}\mathrm{Z}\mathrm{\in }\mathrm{V}$tenemos

$${\beta }^i\otimes {\beta }^j(aX+cY,Z)=a{\beta }^i\otimes {\beta }^j(X,Z)+c{\beta }^i\otimes {\beta }^j(Y,Z)$$

$${\beta }^i\otimes {\beta }^j(X,aY+cZ)=a{\beta }^i\otimes {\beta }^j(X,Y)+c{\beta }^i\otimes {\beta }^j(X,Z)$$

que son respectivamente

$$\left(a{X}^i+c{Y}^i\right)z^j=a{X}^i{Z}^j+c{Y}^i{Z}^j$$

$$X^i\left(a{Y}^j+c{Z}^j\right)=a{X}^i{Y}^j+c{X}^i{Z}^j$$

Toda transformación bilineal $\mathrm{V}\mathrm{\times }\mathrm{V}\mathrm{\to }\mathrm{R}$ está generada por los ${\mathrm{\beta }}^{\mathrm{i}}\mathrm{\otimes }{\mathrm{\beta }}^{\mathrm{j}}$ puessi $\mathrm{B}\mathrm{:}\mathrm{V}\mathrm{\times }\mathrm{V}\mathrm{\to }\mathrm{R}$ es un mapeo bilineal arbitario, este se expresará como

$$B=B_{st}{\beta }^s\otimes {\beta }^t$$

y denotaremos con ${\mathrm{T}}^{\mathrm{(}\mathrm{2}\mathrm{,}\mathrm{0}\mathrm{)}}\mathsf{}\mathrm{V}$ el espacio vectorial generado por los ${\mathrm{\beta }}^{\mathrm{i}}\mathrm{\otimes }{\mathrm{\beta }}^{\mathrm{j}}$, en otras palabras

$$T^{(2,0)}V=⟨\left\{{\beta }^i\otimes {\beta }^j\right\}⟩$$

Similarmente el conjunto de los mapas tri-lineales

$$T^{(3,0)}V=⟨\left\{{\beta }^i\otimes {\beta }^j\otimes {\beta }^k\right\}⟩$$

donde ${\mathrm{\beta }}^{\mathrm{i}}\mathrm{\otimes }{\mathrm{\beta }}^{\mathrm{j}}\mathrm{\otimes }{\mathrm{\beta }}^{\mathrm{k}}\mathsf{}\mathrm{(}\mathrm{X}\mathrm{,}\mathrm{Y}\mathrm{,}\mathrm{Z}\mathrm{)}\mathrm{=}{\mathrm{X}}^{\mathrm{i}}\mathsf{}{\mathrm{Y}}^{\mathrm{j}}\mathsf{}{\mathrm{Z}}^{\mathrm{k}}$ es una construcción tri-lineal básica.Así cualquier otro mapa trilineal $\mathrm{T}\mathrm{:}\mathrm{V}\mathrm{\times }\mathrm{V}\mathrm{\times }\mathrm{V}\mathrm{\to }\mathrm{R}$ se escribe conforme a

$$T=T_{stu}{\beta }^s\otimes {\beta }^t\otimes {\beta }^u$$

No es difícil visualizar lo qué hay en el espacio vectorial ${\mathrm{T}}^{\mathrm{(}\mathrm{k}\mathrm{,}\mathrm{0}\mathrm{)}}\mathsf{}\mathrm{V}$ y cuál es una base para él.?‘puede ud. decir cuál es las dimensión de cada uno de estos espacios vectoriales?

Álgebra de Grassmann

Importantes son las transformaciones multilineales que son antisimétricas, es decir transformaciones multiliealesque cambian de signo cuando intercambiamos (transponemos) dos de sus argumentos.Por ejemplo un mapa bilineal $\mathrm{B}\mathrm{:}\mathrm{V}\mathrm{\times }\mathrm{V}\mathrm{\to }\mathrm{R}$ es antisimétrico (o alternante) si satisface

$$B(X,Y)=-B(Y,X)$$

un trilineal alternante cumple

$T(X,Y,Z)$$=$$-T(Y,X,Z)$

$=$$T(Y,Z,X)$

$=$$-T(Z,Y,X)$

La construcción

$${\beta }^i\wedge {\beta }^j=\beta \otimes {\beta }^j-{\beta }^j\otimes {\beta }^i$$

define un operador bilineal antisimétrico básicoy satisface

$${\beta }^i\wedge {\beta }^j(X,Y)=X^i{Y}^j-X^j{Y}^i$$

Otra notación es

$${\beta }^i\wedge {\beta }^j={\beta }^{[i}\otimes {\beta }^{j]}$$

Estos objetos generan un subespacio de mapas bilineales –también llamados bivectores o 2-formas–y los simbolizamos con

$${\mathrm{\Lambda }}^{2}V=⟨\left\{{\beta }^i\wedge {\beta }^j\right\}⟩$$

esto implica que si $\mathrm{B}\mathrm{\in }{\mathrm{\Lambda }}^{\mathrm{2}}\mathsf{}\mathrm{V}$ entonces $\mathrm{B}\mathrm{=}{\mathrm{B}}_{\mathrm{s}\mathsf{}\mathrm{t}}\mathsf{}{\mathrm{\beta }}^{\mathrm{s}}\mathrm{\wedge }{\mathrm{\beta }}^{\mathrm{t}}$

Observe que ${\mathrm{\beta }}^{\mathrm{i}}\mathrm{\wedge }{\mathrm{\beta }}^{\mathrm{i}}\mathrm{=}\mathrm{0}$ para cada $\mathrm{i}$.

Ahora, si $\dim \mathsf{}\mathrm{V}\mathrm{=}\mathrm{n}$ entonces

$${\beta }^1\wedge {\beta }^2,{\beta }^1\wedge {\beta }^3,\mathrm{\dots },{\beta }^1\wedge {\beta }^n,{\beta }^2\wedge {\beta }^3,\mathrm{\dots },{\beta }^{n-1}\wedge {\beta }^n$$

son los únicos bivectores básicospor lo tanto $\dim \mathsf{}{\mathrm{\Lambda }}^{\mathrm{2}}\mathsf{}\mathrm{V}\mathrm{=}\mathrm{\left(}\genfrac{}{}{0pt}{}{\mathrm{n}}{\mathrm{2}}\mathrm{\right)}$

El espacio vectorial ${\mathrm{\Lambda }}^{\mathrm{k}}\mathsf{}\mathrm{V}$ generado por los productos exteriores de $\mathrm{k}$ covectores básicos

$${\beta }^{i_1}\wedge {\beta }^{i_2}\wedge \mathrm{\cdots }\wedge {\beta }^{i_k}$$

donde los indices cumplen , tiene dimensión $\mathrm{\left(}\genfrac{}{}{0pt}{}{\mathrm{n}}{\mathrm{k}}\mathrm{\right)}$i.e.

$$dim\left({\mathrm{\Lambda }}^{k}V\right)=\left(\genfrac{}{}{0pt}{}{dimV}{k}\right)$$

El espacio ${\mathrm{\Lambda }}^{\mathrm{n}}\mathsf{}\mathrm{V}$ está generado por la única n-forma ${\mathrm{\beta }}^{\mathrm{1}}\mathrm{\wedge }{\mathrm{\beta }}^{\mathrm{2}}\mathrm{\wedge }\mathrm{\cdots }\mathrm{\wedge }{\mathrm{\beta }}^{\mathrm{n}}$por lo que $\dim \mathsf{}\mathrm{(}{\mathrm{\Lambda }}^{\mathrm{n}}\mathsf{}\mathrm{V}\mathrm{)}\mathrm{=}\mathrm{1}$.

El espacio vectorial

$$\mathrm{\Lambda }V={\mathrm{\Lambda }}^{0}V\oplus {\mathrm{\Lambda }}^{1}V\oplus \mathrm{\cdots }\oplus {\mathrm{\Lambda }}^{n-1}V\oplus {\mathrm{\Lambda }}^{n}V$$

junto con el producto exterior $\mathrm{\wedge }$ constituyen un álgebra que recibe el nombre de álgebra de Grassmann(o álgebra exterior) de $\mathrm{V}$

Espacios vectoriales con producto interior.

Sea $\mathrm{V}$ un espacio vectorial sobre los reales $\mathrm{R}$ generado por los objetos$\mathrm{\{}{\mathrm{b}}_{\mathrm{1}}\mathrm{,}{\mathrm{b}}_{\mathrm{2}}\mathrm{,}\mathrm{\dots }\mathrm{,}{\mathrm{b}}_{\mathrm{n}}\mathrm{\}}$. Suponga que existe un producto interior en $\mathrm{V}$ i.e. hay un mapa

$$⟨\mathit{\hspace{1em}},⟩:V\times V\to R$$

el cual es bilineal, simétrico y positivo definido no degenerado:repectivamente

1. $⟨aX+cY,Z⟩=a⟨X,Z⟩+c⟨Y,Z⟩$

2. $⟨X,aY+cZ⟩=a⟨X,Y⟩+c⟨X,Z⟩$

3. $⟨X,Y⟩=⟨Y,Z⟩$

4. $⟨X,X⟩\ge 0$

5. $⟨X,X⟩=0$ si y sólo si $X=0$

donde $\mathrm{a}\mathrm{,}\mathrm{c}$ son escalares reales y $\mathrm{X}\mathrm{,}\mathrm{Y}\mathrm{,}\mathrm{Z}$ vectores arbitarios en $\mathrm{V}$.

El tensor métrico es la matriz

donde ${\mathrm{g}}_{\mathrm{i}\mathsf{}\mathrm{j}}\mathrm{=}\mathrm{⟨}{\mathrm{b}}_{\mathrm{i}}\mathrm{,}{\mathrm{b}}_{\mathrm{j}}\mathrm{⟩}$.

La matriz inversa ${\mathrm{G}}^{\mathrm{-}\mathrm{1}}$ se llama cotensor métrico y sus entradas se indexan${\mathrm{G}}^{\mathrm{-}\mathrm{1}}\mathrm{=}\mathrm{[}{\mathrm{g}}^{\mathrm{i}\mathsf{}\mathrm{j}}\mathrm{]}$,por lo que al multiplicar $\mathrm{G}$ y ${\mathrm{G}}^{\mathrm{-}\mathrm{1}}$ se obtienen las relaciones

$$\delta _i{}^j=g_{is}{g}^{sj}=g_{i1}{g}^{1j}+g_{i2}{g}^{2j}+\mathrm{\cdots }{g}_{in}{g}^{nj}$$

Lema de Representación de Riesz Sea $\mathrm{f}\mathrm{:}\mathrm{V}\mathrm{\to }\mathrm{R}$ un covector en $\mathrm{V}$ con producto interior$\mathrm{⟨}\mathrm{\hspace{1em}}\mathrm{,}\mathrm{⟩}$.Entonces existe un único vector $\mathrm{a}\mathrm{\in }\mathrm{V}$ el cual determina a $\mathrm{f}$, esto es:

$$f(\mathit{\hspace{1em}})=⟨a,⟩$$

Para los covectores básicos ${\mathrm{\beta }}^{\mathrm{i}}$ resulta que el vector ${\mathrm{b}}^{\mathrm{i}}\mathrm{=}{\mathrm{g}}^{\mathrm{i}\mathsf{}\mathrm{s}}\mathsf{}{\mathrm{b}}_{\mathrm{s}}$ (suma sobre $\mathrm{s}$) satisface

$${\beta }^i(\mathit{\hspace{1em}})=⟨b^i,⟩$$

pues si ${\mathrm{\beta }}^{\mathrm{i}}$ se aplica a el básico ${\mathrm{b}}_{\mathrm{t}}$ tenemos

${\beta }^i\left(b_t\right)$$=$$⟨b^i,b_t⟩$

$=$$⟨g^{is}{b}_s,b_t⟩$

$=$$g^{is}⟨b_s,b_t⟩$

$=$$g^{is}{g}_{st}$

$=$$\delta ^i{}_t$

por lo que aplicado a un vector $\mathrm{X}\mathrm{=}{\mathrm{X}}^{\mathrm{\mu }}\mathsf{}{\mathrm{b}}_{\mathrm{\mu }}$ arbitario tenemos

${\beta }^i\left(X\right)$$=$$⟨b^i,X^{\mu }{b}_{\mu }⟩$

$=$$X^{\mu }⟨b^i,b_{\mu }⟩$

$=$$X^{\mu }\delta ^i{}_{\mu }$

$=$$X^i$

Los vectores ${\mathrm{b}}^{\mathrm{1}}\mathrm{,}{\mathrm{b}}^{\mathrm{2}}\mathrm{,}\mathrm{\dots }\mathrm{,}{\mathrm{b}}^{\mathrm{n}}$ son linealmente independientes, forman también una base para $\mathrm{V}$ y se llamanbásicos reciprocos.

Siendo ${\mathrm{T}}^{\mathrm{(}\mathrm{2}\mathrm{,}\mathrm{0}\mathrm{)}}\mathsf{}\mathrm{V}$ el conjunto de los mapeos bilineales $\mathrm{V}\mathrm{\times }\mathrm{V}\mathrm{\to }\mathrm{R}$ y si $\mathrm{B}\mathrm{\in }{\mathrm{T}}^{\mathrm{(}\mathrm{2}\mathrm{,}\mathrm{0}\mathrm{)}}\mathsf{}\mathrm{V}$ entonces$\mathrm{B}\mathrm{=}{\mathrm{B}}_{\mathrm{\mu }\mathsf{}\mathrm{\nu }}\mathsf{}{\mathrm{\beta }}^{\mathrm{\mu }}\mathrm{\otimes }{\mathrm{\beta }}^{\mathrm{\nu }}$.

En el conjunto ${\mathrm{T}}^{\mathrm{(}\mathrm{0}\mathrm{,}\mathrm{2}\mathrm{)}}\mathsf{}\mathrm{V}$ está el mapeo bilineal$\overline{\mathrm{B}}\mathrm{=}{\mathrm{B}}^{\mathrm{\mu }\mathsf{}\mathrm{\nu }}\mathsf{}{\mathrm{b}}_{\mathrm{\mu }}\mathrm{\otimes }{\mathrm{b}}_{\mathrm{\nu }}$.

Y en ${\mathrm{T}}^{\mathrm{(}\mathrm{1}\mathrm{,}\mathrm{1}\mathrm{)}}\mathsf{}\mathrm{V}$ está $\overline{\overline{\mathrm{B}}}\mathrm{=}\mathrm{B}_{\mathrm{\mu }}{}^{\mathrm{\nu }}\mathsf{}{\mathrm{\beta }}^{\mathrm{\mu }}\mathrm{\otimes }{\mathrm{b}}_{\mathrm{\nu }}$.

Ahora si construimos los básicos reciprocos duales

$${\beta }_i=g_{is}{\beta }^s$$

vamos a poder calcular que

$$B(b_s,b_t)=\overline{B}({\beta }_s,{\beta }_t)=\overline{\overline{B}}(b_s,{\beta }_t)=B_{st}$$

donde los componentes se relacionan mediante el cotensor métrico así:

$$B^i{}_j=B_{sj}{g}^{si}$$

con suma sobre $\mathrm{s}$, y

$$B^{ij}=B^i{}_s{g}^{sj}=B_{st}{g}^{si}{g}^{tj}$$

con suma sobre $\mathrm{t}$ y $\mathrm{s}\mathrm{,}\mathrm{t}$ respectivamente.O bien $\mathrm{B}_{\mathrm{i}}{}^{\mathrm{j}}\mathrm{=}{\mathrm{B}}^{\mathrm{s}\mathsf{}\mathrm{j}}\mathsf{}{\mathrm{g}}_{\mathrm{s}\mathsf{}\mathrm{i}}$ y ${\mathrm{B}}_{\mathrm{i}\mathsf{}\mathrm{j}}\mathrm{=}\mathrm{B}_{\mathrm{i}}{}^{\mathrm{s}}\mathsf{}{\mathrm{g}}_{\mathrm{s}\mathsf{}\mathrm{j}}$.

Todas estas relaciones entre los componentes con respecto al tensor y cotensor métricos reciben el nombre deleyes de subir y bajar índices.

Las formas tiene un producto interior también

Es posible inducir un producto interior en los espacios ${\mathrm{\Lambda }}^{\mathrm{k}}\mathsf{}\mathrm{V}$. Si$\mathrm{A}\mathrm{=}{\mathrm{A}}_{{\mathrm{i}}_{\mathrm{1}}\mathsf{}\mathrm{\dots }\mathsf{}{\mathrm{i}}_{\mathrm{k}}}\mathsf{}{\mathrm{\beta }}^{{\mathrm{i}}_{\mathrm{1}}}\mathrm{\wedge }\mathrm{\dots }\mathrm{\wedge }{\mathrm{\beta }}^{{\mathrm{i}}_{\mathrm{k}}}$ y$\mathrm{C}\mathrm{=}{\mathrm{C}}_{{\mathrm{j}}_{\mathrm{1}}\mathsf{}\mathrm{\dots }\mathsf{}{\mathrm{j}}_{\mathrm{k}}}\mathsf{}{\mathrm{\beta }}^{{\mathrm{j}}_{\mathrm{1}}}\mathrm{\wedge }\mathrm{\dots }\mathrm{\wedge }{\mathrm{\beta }}^{{\mathrm{j}}_{\mathrm{k}}}$ entonces

$$⟨A,C⟩=g^{i_1{j}_1}\mathrm{\cdots }{g}^{i_k{j}_k}{A}_{i_1\mathrm{\dots }{i}_k}{C}_{j_1\mathrm{\dots }{j}_k}$$

Por ejemplo para 1-formas tenemos

$⟨A,C⟩$$=$$g^{i_1{j}_1}{A}_{i_1}{C}_{j_1}$

$=$$A_{i_1}{C}^{i_1}$

que satisface los 5 axiomas de producto interior.

Pullback

Teniendo una transformación lineal $\mathrm{L}\mathrm{:}\mathrm{V}\mathrm{\to }\mathrm{W}$ podemos construir por cada forma en $\mathrm{W}$ otra forma en $\mathrm{V}$.Pues si $\mathrm{\varphi }\mathrm{\in }{\mathrm{W}}^{\mathrm{*}}\mathrm{=}{\mathrm{\Lambda }}^{\mathrm{1}}\mathsf{}\mathrm{V}$ es decir $\mathrm{\varphi }\mathrm{:}\mathrm{W}\mathrm{\to }\mathrm{R}$ es covector en $\mathrm{W}$ entonces podemos construir otra transformación lineal $\mathrm{\varphi }\mathrm{\circ }\mathrm{L}\mathrm{:}\mathrm{V}\mathrm{\to }\mathrm{R}$, es decir $\mathrm{\varphi }\mathrm{\circ }\mathrm{L}\mathrm{\in }{\mathrm{V}}^{\mathrm{*}}\mathrm{=}{\mathrm{\Lambda }}^{\mathrm{1}}\mathsf{}\mathrm{V}$.Así hemos definidouna transformación lineal

$$L^{*}:W^{*}\to V^{*}$$

vía

$$\varphi \mapsto L^{*}\varphi =\varphi \circ L$$

la regla de asignación ${\mathrm{L}}^{\mathrm{*}}$ es el pullback de $\mathrm{L}$.

Supongamos que $\mathrm{V}\mathrm{=}\mathrm{⟨}\mathrm{\{}{\mathrm{b}}_{\mathrm{1}}\mathrm{,}\mathrm{\dots }\mathrm{,}{\mathrm{b}}_{\mathrm{n}}\mathrm{\}}\mathrm{⟩}$ y $\mathrm{W}\mathrm{=}\mathrm{⟨}\mathrm{\{}{\mathrm{c}}_{\mathrm{1}}\mathrm{,}\mathrm{\dots }\mathrm{,}{\mathrm{c}}_{\mathrm{m}}\mathrm{\}}\mathrm{⟩}$, así tendremos que

$$L{b}_k=L^s{}_k{c}_s,$$A

es la forma en que las bases se relacionan.

?‘Cómo se relacionan las base de covectores?

Sean ${\mathrm{V}}^{\mathrm{*}}\mathrm{=}\mathrm{⟨}\mathrm{\{}{\mathrm{\beta }}^{\mathrm{1}}\mathrm{,}\mathrm{\dots }\mathrm{,}{\mathrm{\beta }}^{\mathrm{n}}\mathrm{\}}\mathrm{⟩}$ y $\mathrm{W}\mathrm{=}\mathrm{⟨}\mathrm{\{}{\mathrm{\gamma }}^{\mathrm{1}}\mathrm{,}\mathrm{\dots }\mathrm{,}{\mathrm{\gamma }}^{\mathrm{m}}\mathrm{\}}\mathrm{⟩}$. Sean${\mathrm{g}}_{\mathrm{i}\mathsf{}\mathrm{j}}\mathrm{=}\mathrm{⟨}{\mathrm{b}}_{\mathrm{i}}\mathrm{,}{\mathrm{b}}_{\mathrm{j}}\mathrm{⟩}$ y ${\mathrm{h}}_{\mathrm{k}\mathsf{}\mathrm{l}}\mathrm{=}\mathrm{⟨}{\mathrm{c}}_{\mathrm{k}}\mathrm{,}{\mathrm{c}}_{\mathrm{l}}\mathrm{⟩}$ los componentes de los tensores métricos de $\mathrm{V}$ y $\mathrm{W}$ respectivamente.

Por lo que

$L^{*}{\gamma }^i\left(b_k\right)$$=$${\gamma }^i\circ L\left(b_k\right)$

$=$${\gamma }^i\left(L{b}_k\right)$

$=$${\gamma }^i\left(L^s{}_k{c}_s\right)$

$=$$L^s{}_k{\gamma }^i\left(c_s\right)$

$=$$L^s{}_k{\gamma }^i\left(c_s\right)$

$=$$L^s{}_k\delta ^i{}_s$

$=$$L^i{}_k$

Pero también

$L^i{}_t{\beta }^t\left(b_k\right)$$=$$L^i{}_t\delta ^t{}_k$

$=$$L^i{}_k$

Es decir

$$L^{*}{\gamma }^i\left(b_k\right)=L^i{}_t{\beta }^t\left(b_k\right)$$

para todo básico ${\mathrm{b}}_{\mathrm{k}}$, por lo que las transformacionesson iguales, i.e.

$$L^{*}{\gamma }^i=L^i{}_t{\beta }^t,$$B

lo que nos indica como se relacionan las bases duales de $\mathrm{W}\mathrm{,}\mathrm{V}$ respectivamente (cf. $\mathrm{(}\mathrm{A}\mathrm{)}$ arriba).

Finalmente, si $\mathrm{\phi }\mathrm{\in }{\mathrm{W}}^{\mathrm{*}}$ este se expresa como $\mathrm{\phi }\mathrm{=}{\mathrm{\phi }}_{\mathrm{\mu }}\mathsf{}{\mathrm{\gamma }}^{\mathrm{\mu }}$ y entonces

$$L^{*}\phi ={\phi }_{\mu }{L}^{*}{\gamma }^{\mu }={\phi }_{\mu }L^{\mu }{}_t{\beta }^t$$

lo cual muestra que los componentes de ${\mathrm{L}}^{\mathrm{*}}\mathsf{}\mathrm{\phi }$ son

$${\phi }_{\mu }L^{\mu }{}_t$$

Ejercicios

1. Demuestre que si $V\stackrel{L}{\to }W\stackrel{M}{\to }U$ es una composición de transformaciones lineales,entonces el correspondiente diagrama de pullbacks es

   $$U^{*}\stackrel{M^{*}}{\to }{W}^{*}\stackrel{L^{*}}{\to }{V}^{*}$$

   
   

2. Escriba todo el ejercicio 1 en términos de componentes.

   
   

3. Si el covector $\phi \in W^{*}$ tiene una representación $\phi (\mathit{\hspace{1em}})=⟨\xi ,⟩$y covector $L^{*}\phi \in V^{*}$ tiene $L^{*}\phi (\mathit{\hspace{1em}})=⟨\zeta ,⟩$, con $\xi \in W$ y $\zeta \in V$,?‘Cuál es la relación entre los componentes de $L$, $\xi$ y $\zeta$?