§3 拉普拉斯变换
[拉普拉斯变换及其反演公式] 
的拉普拉斯变换
(s是复数，s=
)
拉普拉斯变换的反演公式
积分沿着任一直线Res=
来取，
是
的增长指数，同时，积分理解为在主值意义下的.
[拉普拉斯变换的存在条件] 如果
满足下面三个条件，那末它的拉普拉斯变换存在.
(i) (i) 实变量的复值函数
和
在
上除掉有第一类间断点（在任一有限区间上至多有有限多个）外连续；
(ii) (ii) 当t<0时，
=0;
(iii) (iii) 
是有限阶的，也就是说可以找到常数
和A>0,使得
这里数
称为
的增长指数，
是有界函数时，可取
=0.
如果满足上面三个条件，那末L ( s )是半平面Res>
上的解析函数.而反演公式在
的连续点处成立.
[拉普拉斯变换的性质]
(a是常数)
(a,b是常数)
式中
称为函数
和g ( t )的褶积（或卷积）.
[拉普拉斯变换的主要公式表］
| 原 来 函 数 | 拉普拉斯变换后的函数 |
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| f ( n )( t ) | |
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| 原 来 函 数 | 拉普拉斯变换后的函数 |
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| | ( |
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| f ( t2 ) | |
| t v-1f(t) (Rev > | |
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| | L (ln s) |
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)msnL(m)(s)
)
［拉普拉斯变换表］
拉普拉斯变换表I
（已知函数查其拉普拉斯变换用此表方便）
| f ( t ) | L ( s ) |
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| 1 |
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| e – c s |
| 1 |
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| t |
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| t n |
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| t v ( Re v > |
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| ( 2 |
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| ea t |
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| tea t |
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| t nea t |
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| t vea t ( Re v > |
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| ln t |
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| erf (at) ( a>0 ) |
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)
> 0 )
t + t2 ) v ( a>0, Re v>
)
( a > 0 )
( a > 0 )
)
)
拉普拉斯变换表 II
（已知函数的拉普拉斯变换查其原来函数用此表方便）
| L ( s ) | f ( t ) |
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（ | |
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( |
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[二重拉普拉斯变换及其反演公式]
函数f (x ,y)的二重拉普拉斯变换为
二重拉普拉斯变换的反演公式为
其中
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