二、    曲线积分

       [对弧长的曲线积分]  若函数f(x,y,z)在光滑曲线C:

 的各点上有定义并且连续（图6.6）则

式中ds为弧的微分，等.这个积分与曲线C的方向无关.

       [对坐标的曲线积分]  若函数P=P(x,y,z),Q=Q(x,y,z),R=R(x,y,z)在光滑曲线C:

的各点上连续，这曲线的正方向为t增加的方向，则

当曲线C的正向变更时，积分的符号改变.

       [全微分的情形]  若函数P=P(x,y,z),Q=Q(x,y,z),R=R(x,y,z)在区域V中的任一条光滑曲线C上连续，并且

式中u=u(x,y,z)为区域V内的单值可微函数，则

式中()为积分曲线C的始点，()为积分曲线C的终点.这说明在假定的条件下，积分值与曲线C的形状无关，只与曲线的始点和终点有关(图6.7).

       在单连通区域V内有连续的一阶偏导数的函数P,Q,R能表成全微分

的充分必要条件是：在区域V内等式

成立.这时函数u可按下面公式求得：

式中()为区域V内的某一固定点.

       [格林公式]

       1°曲线积分与二重积分的关系.设C为逐段光滑的简单（无自交点）闭曲线，围成单连通的有界区域S,这围线的方向使区域S保持在左边，若函数P(x,y),Q(x,y)及它们的一阶偏导数在S+C上连续，则有格林公式 ：

       2° 曲线积分与积分线路的关系.若函数P,Q, 在区域S上连续，且

则沿S内的任一光滑闭曲线的积分为零，即

因而由S中的A到B的积分与线路无关（图6.8)，即