八、 八、 曲面的基本公式与基本方程
[高斯公式与外因格尔登公式] 设曲面的参数方程为
，在曲面上每点M取三个不共面的矢量
，由这三个矢量组成的三面形称为曲面的活动标架或伴随三面形；要注意，在这里
和
不互相垂直，但它们都在切面上而垂直于法线单位矢量N.
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图 7.27 |
可以把
关于u，
的偏导数表示为下列形式的线性组合：
（1）
（2）
式中E，F，G和L，M，N分别为曲面的第一和第二基本量；六个系数
称为第一基本二次型的第二类克里斯托弗尔记号，它们的表达式是
方程组（1）称为曲面的偏微分方程，又称为高斯公式；方程组（2）称为外因格尔登公式；（1），（2）合称为曲面的基本公式，这些公式的特点是，把矢量
的导数用矢量
本身的线性组合来表达，其系数仅与曲面的第一、第二基本量有关.
[高斯方程与柯达奇方程] 方程组（1）的可积条件为
（3）
和
（4）
方程组（2）的可积条件是（4）.方程组（4）成为柯达奇方程.
从（3）可以得到下列定理：
1 、高斯定理 曲面的总曲率K可以用第一基本量和它们的一阶，二阶偏导数来表示；因而总曲率是曲面的一个等距不变量.
2、在等距对应下，曲面的对应点必有相同的总曲率.
这个重要结果表明，总曲率不同的两个曲面具有很大的差别性，即使允许曲面经过任意的弯曲，也不能使这两个曲面互相贴合.
总曲率K以E，F，G的表达式称为高斯方程，与柯达奇方程合并起来称为曲面的基本方程.
[波恩涅定理] 给定任意两个二次型
其中
是正定的，假定
和
的系数满足高斯方程和柯达奇方程，则除了空间位置的差别外，唯一地存在一个曲面，以
和
分别作为它的第一和第二基本二次型.