二、群
[群的定义与例子] 设G不是空集（见第二十一章，§1，一），对G给定一个代数运算
，若在
之下，满足下列四个条件，则称G为一个群：
（i） G在
之下是封闭的，即对每一对元素
，则有唯一确定的元素
，且
.
（ii） G在
之下是可结合的，即对任意
，有
（iii） 在G中有一元素e，对任一
，满足
（iv） 对任一
，都有一个
，满足
条件（iii）中的e称为单位元或恒等元；条件（iv）中的
称为
的逆元.
注意，定义中条件（iii）可改为：有一个左单位元e（或右单位元
），使
（或
），对任意
成立. 因为由此推出
.因此，群中单位元是唯一的. 定义中条件（iv）可改为：每个元
有左（或右）逆元
，使
（或
）成立. 因为由此推出
，从而
也成立. 因此，群中每个元的逆元是唯一的.
若一个群G的乘法
可交换，则称G为交换群或阿贝耳群. 特别在加法之下，交换群称为加法群. 在加法群时，
改为
，逆元
改为负元-
，单位元称为零元，记作0.
例1 整数集N组成一个加法群；有理数集、实数集、复数集各组成一个加法群.
例2 非零的实数集
对于乘法组成一个群. 正的实数集
对于乘法也组成一个群.
例3 一切元在数域F中的n阶可逆矩阵对于矩阵的乘法组成一个群，记作
.
例4 设Ω是一个平面图形，
是平面上一切使Ω不动的正交变换所组成的集，则
组成一个群. 
通称为图形Ω的对称群.
例5 一切n次置换的集合组成一个群，称为置换群，记作
.
事实上，若任取两个n次置换：
可改写为：
对置换
和
，规定置换
和它们对应，即
为
和
的乘积，记作
在这个乘法之下，不难推出
满足群中规定的条件，因而
组成一个群.
例6 非空集S到自身的一切可逆变换（见第二十一章，§1，二）对于变换的乘法组成一个群，称为集S的全变换群，记作
.
的子群称为S上的变换群.
[群的基本性质]
1o 在群中，对任意元a，b，方程
各有解.即
.
2o 消去律成立. 即若
，则
.
3o 群中一般结合律成立. 即
4o 交换群中一般交换律成立. 即
式中
是
的任一排列.
[子群] 设群G的非空子集H对于G的运算也组成一个群，则称H为G的一个子群.
群G的非空子集H是子群的充分必要条件是：若
，则
.
任意个子群的交集（见第二十一章，§1，三）是一个子群.
[循环群] 一个元a的一切乘幂
的全体组成一个群，称为循环群. 循环群是交换群.
若序列
中没有两个元素相等的，则称G为无限循环群. 若有相等的元素，即
可推出G为n个元
的集，即
这时称G为有限循环群，n称为G的阶，即n为使
的最小正整数.
循环群的子群还是循环群.
[不变子群·陪集·商群] 设H为群G的一个子群，若对每个元
, 有
(这里
表示g与H中一切元素的乘积，例如
），即
，则称H为G的一个不变子群（或正规子群）. 
和
分别称为G对H含元素g的左陪集和右陪集. 因此含同一元素的不变子群的左陪集和右陪集是重合的.
把陪集看作元素时，一切陪集构成一个群，称为G对H的商群，记作G/H.
拉格朗日定理 有限群G的子群的阶是群G的阶的一个因数.
G的不变子群H的商群
的阶为
的阶被
的阶除所得的商.
交换群的一切子群都是不变子群.
若群G除自身外，无任何其他不变子群，则称G为单群.
[同构与自同构] 设两个群
，若使
中任意两元a，b的乘积与
中相应元的乘积对应，而且只与这个乘积对应，即
具有这个性质的
到
上的一对一的对应，称为一个同构，又称
与
是同构的，记作
.群G到自身的同构称为自同构.
同构有以下性质：
1o在同构之下，一个群的单位元、逆元、子群分别对应到另一个群的单位元、逆元、子群.
2o同构是一个等价关系，即
(i) 反身性 
；
(ii) 对称性 若
，则
；
(iii) 传递性 若
，
，则
.
3o凯莱定理 任一群G都同构于它的元素集的某一变换群.
[同态与自同态] 有两个群
,
,与一个映射
：
.设
，若满足
则称
为一个同态. 
为
的一个同态象，记作
~
. 群
到自身的同态称自同态.
同态有以下性质：
1o一对一的同态就是同构.
2o在同态之下，单位元映到单位元，逆元映到逆元.
3o假定f是群G到
的一个同态，则G中对应于
的单位元
的一切元素所成的集N是G的一个不变子群. N称为同态f的核，记作
.
4o假定群G，
同态，则G中对应于
的任一固定元素的一切元素所成的集是G对同态核N的一个陪集.
5o同态基本定理 假定G，
同态，群G对N的陪集与
的元素之间的一一对应是
与商群G/N之间的一个同构. 它表明G的同态象
与对应的商群G/N同构.