§2 级数的收敛与运算

一、数项级数收敛的判别法

1．基本概念与基本性质

[级数的基本概念]设 ,,是一个无穷序列,符号

称为无穷级数,简称级数,记作.a_n称为级数的一般项.

A_n= a₁+a₂+              (n=1,)

称为级数的第n个部分和.若当n∞时，部分和序列{A_n}具有有穷或无穷（但有确定的正号或负号的）极限A：

A=A_n=

则称A为级数的和，并写成

A= a₁+a₂+

若级数具有有穷和，则称级数为收敛的，否则，即级数和等于±∞，或不存在，则称级数为发散的.

[级数的基本性质]

(1) 弃去级数前面的有限项或在级数前面加进有限项，并不影响级数的收敛与发散的性质.

(2) 若级数收敛，则它的第m项后的余项的和数

a_m=a_m+1+a_m+2+

当m∞时趋于零.

(3) 若级数收敛，c是任一常数，则级数也收敛，并有

=c

(4) 若与都收敛，则也收敛，并有

[柯西准则] 级数收敛的充分必要条件是：对任意的ε>0，都存在正整数N=N(ε),使得当nN时，对一切正整数p，下列不等式成立：

[级数收敛的必要条件] 级数收敛的一个必要条件是：一般项a_n趋于零，即a_n=0.