四、基本解与广义解
[共轭微分算子与自共轭微分算子] 算子
称为二阶线性微分算子，式中aij,bi,c为x1,x2,…,xn的二次连续可微函数.由公式
决定的算子L*称为L的共轭微分算子.如果L=L*，则称L为自共轭微分算子.
[格林公式]
1° 算子L的格林公式是
式中S为区域D的边界，N为S的外法线矢量，ei为xi的轴的矢量
(0,…,0,
,0,…,0),
cos(N,ei)表示矢量N与ei的夹角的余弦，
2° 三维拉普拉斯算子的格林公式
其中
是外法向导数.
3° 算子
的格林公式
式中L*为L的共轭微分算子，N为外法线矢量，i,j分别为x轴，y轴上的单位矢量.
[基本解]
1° 方程Lu=f的基本解：
设M,M0为En中的点，满足方程
的解U(M,M0)称为方程Lu=f的基本解，有时也称为方程Lu=0的基本解，式中(M-M0)称为n维狄拉克函数（-函数）.
基本解U(M,M0)满足
(i) LU(M,M0)=0，当M≠M0，
(ii) 对任意充分光滑的函数f(M)，
于是U(M,M0)满足Lu=f(M) .
所以有时也就把满足条件(i)、(ii)的函数U(M,M0)定义为方程Lu=f(M)的基本解.
(a) Δu=0的基本解
二维： 
三维： 
n维： 
式中
表示点M与M0之间的距离.
(b) n维空间的多重调和方程mu=0的基本解
(c) 热传导方程的基本解
(d) 波动方程的基本解
一维：
二维：
三维：
2° 柯西问题的基本解
(i) 称满足
的解为波动方程柯西问题的基本解，它的形式为
一维：
二维：
三维：
(ii) 称满足
的解为热传导方程柯西问题的基本解，它的形式是
同样方法可以定义其他定解问题的基本解.
由定义可见，基本解表示由集中量（如点热源，点电荷等）所产生的解，下段介绍的格林函数，黎曼函数也具有这种特点，统称它们为点源函数，或影响函数.
[广义解] 在区域D中给定二阶线性方程
式中f在D上连续.
1° 设un(x)为D上充分光滑（如二阶连续可微）的函数序列，当n→∞时，un(x)一致（或在适当意义下）收敛于函数u(x)，同时Lun也一致（或在适当意义下）收敛于f(x)，则称u(x)为Lu=f的广义解.
2° 设函数u(x)在区域D内连续，如果对于任意二次连续可微且在与D的边界距离小于某一正数的点上恒等于零的函数（与无关，称为D的试验函数）有
那末称u(x)为方程Lu=f的广义解.
有时为了区别广义解，称以前定义的解为古典解，古典解一定是广义解.但因广义解不一定光滑，甚至不可微，所以不一定是古典解.
例如，当(x)，(x)只是x的连续函数时，函数
u(x,t)=(x+t)－(x－t)
为波动方程
的广义解，但不是古典解.