单词 | 平面曲线 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
释义 | §7 平面曲线 [曲线方程与正方向]
[曲线的切线与法线] 当曲线上的点Q趋于M时,割线MQ的极限位置称为曲线在点M处的切线,通过点M并垂直于切线的直线称为法线.切线的正向就是曲线在切点处的正向,法线的正向就是切线的正向按逆时针方向旋转90°而得到的方向. [曲线的切矩、法矩、次切矩、次法矩与切线倾斜度公式]
表中.对于参数表达的曲线,表中 . [曲线的切线方程与法线方程]
表中分别表示在点的值,同前. [曲线的夹角] 两条相交于点的曲线和在交点的切线斜率分别为和,其夹角j称为两条曲线的夹角(图7.14),且 [弧的微分]
[曲率、曲率半径、曲率圆(或密切圆)与曲率中心的定义] 曲线上两点M和Q的切线正向的夹角d与弧长之比,当Q趋于M时的极限,即 称为曲线在点M的曲率,也就是切线的方向角对于弧长的转动率.当k>0时,表明曲线凹向朝法线的正向;当k<0时, 表明曲线凹向朝法线的负向(图7.15). 称为曲线在点M的曲率半径.在曲线凹向的法线上截,则称C为曲线在点M的曲率中心,以C为圆心,R为半径的圆称为曲线在点M的曲率圆,又称为密切圆.C点的坐标为 [曲率半径与曲率中心坐标的计算公式] 设R为曲率半径,()为曲率中心的坐标,则有 1°曲线方程为F(x,y) = 0时
2° 曲线方程为y = f (x)时
3° 曲线方程为时 4° 曲线方程为时 [等距线、渐屈线、渐开线与包络线]
例 在圆盘周围绕上一根不会伸缩的细线,线端栓一支铅笔,拉紧线端A逐渐拉开,铅笔尖在纸上画出来的曲线就是圆的渐开线.这个圆称为渐开线的基圆.细线称为渐开线的发生线(图7.16(a) ). 现在来寻求渐开线的方程.设基圆的圆心是O,半径是a.开始画时,发生线的外端在A点,取OA为x轴(极轴),如图7.16(b).再设线外端P的坐标为(x,y)或(r,j),因为发生线原来对着圆心角为a +j (a =ÐPON,在齿轮设计中,通称为压力角)的一段弧,展开成为切线NP,所以切线NP的长是a(a + j ),从直角三角形ONP得:OP=,又因= a + j,由此得到圆的渐开线方程 式中a是依赖于极角j的,这个关系决定于 ,把上式写为极坐标方程 (a 单位为弧度) 设t = a + j,可得直角坐标参数方程 (a 为基圆半径) [雪列-弗莱纳公式] 式中t和n分别为曲线的切线和法线的单位矢量,s为弧长,R为曲率半径. [基本定理与自然方程] 在闭区间[a,b]上给定一个连续函数k(s),则除了在平面上的位置差别外,唯一地存在一条平面曲线,以s为弧长,k(s)为曲率.k = k(s)称为曲线的自然方程. [两条平面曲线构成n阶接触的概念与条件]
设两条曲线C1和C2有一共同点O,在C2上取一点M,从M到C1的距离设为h,以d表示M到O的距离(图7.17),如果 则称两条曲线C1与C2在点O构成n阶接触. 检验两条平面曲线构成n阶接触的准则: 1° 设曲线C1的方程为F(x,y)=0,曲线C2的方程为x = x(t),y = y(t),并设在点t = t0(即O(x0,y0))处,则两条曲线C1与C2在点O构成n阶接触的充分必要条件是: 式中,表示j(t)n阶导数. 从此还可推出下面的检验准则: 2° 假定C1:F(x, y) = 0是一条代数曲线(即F(x, y)是关于x和y的多项式),C2在原点(0,0) 的展开式为 则和在原点构成阶接触的充分必要条件是:把的展开式代进后,关于的乘幂,的系数都等于零. |
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