五、正交试验设计

[正交表与正交试验]  正交表是根据组合理论，按照一定规律构造的表格，它在试验设计中有广泛的应用。以正交表为工具安排试验方案和进行结果分析的试验称为正交试验。它适用于多因素、多指标（试验需要考察的结果）、多因素间存在交互作用（因素之间联合起作用）、具有随机误差的试验。通过正交试验，可以分析各因素及其交互作用对试验指标的影响，按其重要程度找出主次关系，并确定对试验指标的最优工艺条件。在正交试验中要求每个所考虑的因素都是可控的。在整个试验中每个因素所取值的个数称为该因素的水平。

正交表的符号为，其中表示正交表；下标是正交表的行数，表示试验次数；是正交表的列数，表示试验至多可以安排的因素个数；是表中不同数字的个数，表示每个因素的水平数。例如,8表示正交表中有8行，即安排试验的次数为8次；7表示正交表中有7列，试验至多可安排7个因素（包括交互作用的因素）；2表示每个因素只有两个水平。这种正交表称为2水平型的正交表。

又如，表示正交表中共有12行，4列，其中有一列是3水平的，有3列是2水平的。它称为混合型的正交表，可用来安排因素水平不同的试验。

[正交表的交互列]  任意两列分别安排了两个因素之后，这两个因素的交互作用可用表的其他列表示出来，称为交互列。交互列在2水平型正交表中只有一列，在3水平型正交表中有两列，例如，任意两列的交互列是另外两列。通常低水平（水平数为2或3）的正交表有另外专表写出交互列，例如的交互列表，指出第3列与第5列的交互列即是第6列等等。有些正交表，例如，任意两列的交互列都不在表内，对这样的正交表就不能考虑因素间的交互作用了。

   手册后面备有常用正交表。

 的交互列表

[正交表的正交性]  正交表具有正交性：

   1^° 在任意一列中，每个水平的重复次数都相等，例如中每列的每个水平都重复4次。

   2^° 任意两列中，同行数字（水平）构成的数对，包含着所有可能（该水平下）的数对,而每个数对重复次数相等。例如在中任意两列构成的数对都包含着3水平下所有可能的数对：（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3），（3，1），（3，2），（3，3），而且每个数对重复次数都等于1。

    由于正交性，使得所安排的正交试验，均衡分散，整齐可比。

[试验方案的制定步骤与安排方法]

   1^° 步骤

    （1） 确定试验中变化因素的个数及每个因素变化的水平。

    （2） 根据专业知识或经验，初步分析各因素之间的交互作用，确定哪些是必须考虑的，哪些是暂时可以忽略的。

    （3） 根据试验的人力、设备、时间及费用，确定可能进行的大概试验次数。

    （4） 选用合适的正交表，安排试验。

   2^°  安排方法

    （1） 在不考虑交互作用时，把因素逐个安排在正交表的任意列上，那末每次试验（对应于正交表的行）的试验条件（每个因素应取的水平）由安排因素的各列的水平确定。

   例如，在试验用不发芽的大麦造啤酒的过程中，选了四个因素，每个因素三个水平，指标是粉粒状（%）。

因素水平表

如果不考虑交互作用，可选用正交表，得试验方案如下：

用安排一个四因素的试验方案

此表指出第1号试验的条件是，第2号试验条件是第9号试验的条件是。

   （2） 需要考虑交互作用时，因素不能任意安排，应利用相应的表头设计安排试验。此时要注意不能使不同的因素（包括所考虑的交互作用）同处一列(因为分析时无法将同处一列的不同作用分析出来)，如果做不到这一点，就需要采用更大的正交表。例如安排一个四因素A , B , C , D的试验，必须考虑交互作用，其他交互作用可忽略不计。根据的表头设计：

因为是四因素试验，所以可将A , B , C , D分别安排在第1,2,4,7列上，第3,5列分别表示及，第6列空着。如果A , B , C , D四个因素所有的交互作用都要考虑，则不能用，应选用更大的正交表，如。 

[正交表的直观分析]  1^° 计算第i水平的水平和K_i与水平均值k_i例如用安排的四因素3水平的试验方案，可列出直观分析表如下：

其中

   表示第j列的i水平的试验指标和（简称水平和）

   表示第j列的i水平的试验指标均值（简称水平均值）

   表示第j列的的极差

例如

  2^° 评定因素重要性顺序  依照各因素指标均值的极差的大小排出重要性顺序，极差大的表示该因素重要。

  3^° 画出各因素与试验指标的关系图  求出后，对于每个j以水平值i横坐标，以k_i为纵坐标描点并画出折线图，称为第j个因素与试验指标的关系图。若k_i变化幅度大，则对应的因素的影响就愈大。若图上描出的点很分散，则说明该因素是主要的；若点比较集中，则说明该因素是次要的。

   当需要考虑因素的交互作用时，对应某交互作用的k_i列的就表示由于该交互作用的影响而引起的。同样可以画出因素之间的交互作用与试验指标的关系图。

   对于既没有安排因素，也没有安排交互作用的“空列”，可以用来安排试验误差的估计。通过同样的计算得到k_i，这可以看作是由于试验误差造成的，k_i变化的大小反映了该试验误差的大小。也可以画出实验误差与试验指标的关系图。

  4^° 选定最优工艺条件（最优搭配方案）  在不考虑交互作用时，只需根据该试验指标的要求（即该指标是高者为优，或是低者为优），从每个因素的关系图中找出最优点（最高点或最低点）的水平，将各因素的最优水平组合起来就是对于该指标的最优工艺条件。

  当需要考虑因素间的交互作用时，经过分析已知某两个因素的交互作用对试验指标影响很大，这时根据试验结果，把对应于该二因素所有不同水平组合的试验指标（若对于同一种组合有多次试验，则应求出其平均值）进行比较，选出该二因素的最优水平组合。最后，结合其他因素或交互作用选出的最优条件综合考虑，以确定最优工艺条件。

   对于多指标的试验，每个指标都可按上述方法进行分析。最优工艺条件应根据各个指标的情况综合考虑才能确定。

[正交表的方差分析]  设在正交表中因素A被安排在第j列，该列的水平数为b_j（或b_A），每个水平的重复数为r_j，试验次数为n（行数）（显然有r_jb_j=n），则因素A的平方和S_A（或称为第j列平方和S_j）为

总平方和为

   不可忽略的交互作用的平方和也按其所在列的平方和计算（公式同因素A的平方和S_A的计算公式）。

   误差平方和等于与所有安排有因素或交互作用的列的平方和之差，即

正交表的方差分析表

   表中

   对正交表进行方差分析可以定量地给出因素的主次关系，可以判断哪些因素是重要因素，哪些因素是次要因素。此时最优工艺条件的确定只要考虑重要因素，至于那些次要因素的水平，可根据其他条件确定。