单词 | 二次型 |
释义 | §5 二次型与埃尔米特型 一、一、二次型 [双线性型] 若2n个实(或复)变数, 的一个二次齐次多项式 (1) 称为双线性型,式中 , [二次型] 关于n个实(或复)变数的一个二次齐次多项式 (2) 称为二次型,式中,是矩阵A的对称部分,即的元素是. 表达式(2)恒等于零的充分必要条件是:A是反对称的. 当矩阵A是对称的,则称二次型是对称的. 当矩阵A是实的(是实数),则称二次型是实的. 由(2)可知,每个二次型都可化为对称的. 一个实对称二次型当对每组不全为零的实数,使得,或,则分别称二次型是正定的,负定的,半正定的或半负定的. 其他一切实对称二次型称为不定的(即的符号与有关)或恒等于零. [化二次型为标准型] 1o一个线性变换 (3) 或 把每个二次型(2)变为关于新变数的一个二次型 (4) 其中 或 若A是对称的,则也是对称的;若A和T都是实的,则也是实的. 2o对每个实对称二次型,存在具实系数的线性变换(3),使得在(4)中的矩阵是对角线矩阵,所以 (5) 在(5)式中系数不等于零的个数r与所采用的对角化的变换无关,并且等于已知矩阵A的秩,r称为二次型的秩. (5)式中系数的正数与负数个数之差也与所采用的对角线化的变换无关(即雅可比-西尔维斯特惯性定律),它称为二次型的符号差. 3o特别,对每个实对称二次型,存在一个对应于实正交矩阵T的线性变换,可把二次型化为标准型,即 (6) 式中实数是已知矩阵A的特征值. 4o再施行变换,表达式(6)化为 式中等于1,或0,分别对应于特征值是正的,负的或零. [两个二次型的联立简化] 给定两个实对称二次型,,其中是正定的,我们能求出一个实变换(3),它可以把,同时化为标准型. 特别是存在一个实变换(3),使 实数是矩阵的特征值,它们是n次代数方程 的根 [正定等的判别法] 1o一个实对称二次型是正定,负定,半正定,半负定,不定或恒等于零的充分必要条件是:矩阵的特征值(一定是实的)分别都是正的,都是负的,都是非负的,都是非正的,符号不同或都等于零. 2o一个实对称二次型是正定或半正定的充分必要条件是:的每个主子式 都是正的或非负的. 3o一个实对称二次型为负定或半负定的充分必要条件是:分别是正定或半正定. 4o一个实矩阵A是一个半正定矩阵的充分必要条件是:. 若B是非奇异的,则A是正定的. 5o若A与B都是正定的或负定的,则AB也都是正定的或负定的. 每个正定矩阵A有唯一的决定于(Q是正定的)的一对平方根Q,. |
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