2.  多变量隐函数

对于由方程

                   F(x,y,z)=0

所确定的隐函数有下述定理:

[存在定理]  设函数F(x,y,z)在点P₀(x₀,y₀,z₀)的某一邻域R内定义并且满足下列条件:

(i)   F(x,y,z)及其偏导数,在R内连续,

(ii)  F(x₀,y₀,z₀)=0,

(iii)  (x₀,y₀,z₀)≠0,

那末在点P₀(x₀,y₀,z₀)的某一邻域

;;)

内有唯一的单值函数z=h(x,y)存在,具有下列性质:

1°  F[x,y,h(x,y)]≡0,且h(x₀,y₀)= z₀,

2°  函数h(x,y)连续,

3°  它有连续的偏导数.

[导数的计算]

,              (≠0)

   如果需要求所有一,二,各阶的偏导数,只要将恒等式

F(x,y,z)=0

两边求一阶,二阶,三阶,...各阶的全微分,然后和全微分dz,d²z,的定义形式对比,即得.

注意,对于由方程

F(x₁,,x_n,y)=0

所确定的隐函数有类似结果.