三、函数行列式(或雅可比式)及其性质

设有n个自变量的n个函数

  (1)

它们定义在某一n维区域D中,并关于自变量有连续偏导数,则由这些偏导数组成的行列式

称为函数组(1)的函数行列式或雅可比式。记作

函数行列式具有与普通导数相似的一系列性质.

(1) 除函数组(1)外,再取在区域P中有定义且有连续偏导数的函数组

假设当点(t₁,t₂,)在P中变动时,对应点(x₁,x₂,)并不越出区域D,于是就可以通过x₁,x₂, 把y₁,y₂,看成是t₁,t₂,的复合函数.这时有

= (2)

它是一元的复合函数的微分法则

y=f(x),x=；=

的推广。

(2) 特别是,如果令t₁=y₁,t₂=y₂,=y_n(换句话说,由新变量x₁,x₂,又回到旧变量y₁,y₂, ),则由(2)式得到

=1

它是一元函数的反函数微分法则

y=f(x), x==

的推广。

(3) 设有n个自变量x₁,x₂,的m（m<n）个函数y₁,y₂,：

式中x₁,x₂,又是m个自变量t₁,t₂,的函数：

假设它们都有连续偏导数，那末y₁,y₂,作为t₁,t₂,的函数的函数行列式的表达式为

等式右边的和式是从n个标号内每次取m个的一切可能组合而取遍的。

当m=1时,上面的公式就是普通的复合函数的微分公式

的推广.特别当n=3,m=2时,有

(4) 设有2n个自变量的n个方程所组成的方程组

F_i(x₁,x₂,;y₁,y₂,)=0 (i=1,2,…,n)

假定

≠0

将y₁,y₂,看成由这方程组所确定的x₁,x₂,的函数,这时有

它是由F(x,y)=0所确定的隐函数y=f(x)的导数公式

的推广.

(5) 函数行列式可作为面积(体积)的伸缩系数.

假定函数

u=u(x,y), = (x,y)

在xy平面的某个区域上连续,并且有连续的偏导数,又假定在这个区域上

≠0

那末有               dud=dxdy

对更高维的空间有类似的表达式.

例 直角坐标与球面坐标的变换

x=rsincos,y=rsinsin,z=rcos

的函数行列式为

==

这时          dxdydz=drdd= drdd