3. 极小化序列与里兹方法

    在处理变分问题中，极小化序列起着重要的作用.考虑泛函

F(u)=(Au,u)－2(f,u)

以d表示泛函的极小值.设在希尔伯特空间中存在一列元素{u_n}  (n=1,2)，使

则称{u_n}为极小化序列.

    定理  若算子A是正定的，则F(u)的每一个极小化序列既按H空间的模也按H₀的模收敛于使泛函F(u)取极小的元素.

    这个定理不但指出利用极小化序列可求问题的解，而且提供一种近似解的求法，即把极小化序列中的每一个元素当作问题的近似解.

    设算子A是正定的，构造极小化序列的里兹方法的主要步骤是：

    (1)  在线性集合M_A中选取H₀中完备的元素序列{_i} ， (i=1,2) 并要求对任意的n,₁,₂,…,_n线性无关.称这样的元素为坐标元素.

    (2)   令 ，其中a_k为待定系数.代入泛函F(u)，得自变量a₁,a₂,…,a_n的函数

    (3)  为使函数F(u_n)取极小，必须，从而求出a_k   (k=1,2,…,n).序列{u_n}即为极小化序列，u_n可作为问题的近似解.