三、射影
[射影及其性质] 对线性空间V上的一个线性变换P，若有V的两个互补子空间S和T使得若
，则
这种变换P称为V沿T在S上的射影.
射影有以下性质：
1o若P是一个射影，则
因此射影是一个幂等变换；反之，幂等变换必为射影.
2o若
是线性空间V分别沿
在
上和沿
在
上的射影，则
(i) 
是一个射影，当且仅当若
时，则
，并且
是沿
在
上的射影.
(ii) 若
，则P是沿
在
上的射影.
3o设T，S为有限维线性空间
的两个互补子空间，P为沿子空间T在子空间S上的射影，则P的矩阵可化为如下形式：
式中A是k阶方阵.
[正射影] 设S，T为复数域上一酉空间 V的互补子空间，则V沿T在S上的射影称为V在S上的正射影.
[自共轭变换的分解] 设L是有限维酉空间V上一个自共轭变换. 令
为L的不同特征值，令
为使
的矢量α的集合，则
是V的子空间. 显然对
，
和
是V的正交补空间. 若{
}是Si的一个标准正交基，其中
是
的维数，则由一切这些
所组成的集{
}是V的一个标准正交基. 最后使Pi为V在Si上的射影，则关于上面的基底，L的矩阵有如下的形式：
=
式中
表示
阶单位矩阵. 另一方面，关于这个基底射影Pi的矩阵为
式中
表示
阶的零矩阵.
因此自共轭变换可以写成射影的一个线性组合.
