单词 | 射影 |
释义 | 三、射影 [射影及其性质] 对线性空间V上的一个线性变换P,若有V的两个互补子空间S和T使得若,则
这种变换P称为V沿T在S上的射影. 射影有以下性质: 1o若P是一个射影,则
因此射影是一个幂等变换;反之,幂等变换必为射影. 2o若是线性空间V分别沿在上和沿在上的射影,则 (i) 是一个射影,当且仅当若时,则,并且是沿在上的射影. (ii) 若,则P是沿在上的射影. 3o设T,S为有限维线性空间的两个互补子空间,P为沿子空间T在子空间S上的射影,则P的矩阵可化为如下形式: 式中A是k阶方阵. [正射影] 设S,T为复数域上一酉空间 V的互补子空间,则V沿T在S上的射影称为V在S上的正射影. [自共轭变换的分解] 设L是有限维酉空间V上一个自共轭变换. 令为L的不同特征值,令为使的矢量α的集合,则是V的子空间. 显然对,和是V的正交补空间. 若{}是Si的一个标准正交基,其中是的维数,则由一切这些所组成的集{}是V的一个标准正交基. 最后使Pi为V在Si上的射影,则关于上面的基底,L的矩阵有如下的形式: = 式中表示阶单位矩阵. 另一方面,关于这个基底射影Pi的矩阵为 式中表示阶的零矩阵. 因此自共轭变换可以写成射影的一个线性组合. |
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