单词 | 渐进曲线、共轭曲线与极小曲面 |
释义 | 七、 七、 渐近曲线、共轭曲线与极小曲面 [渐近曲线] 在曲面上一点的法曲率等于零的方向称为渐近方向。假定一条曲面曲线C上所有点的切线方向都是渐近方向,则称C为曲面的一条渐近曲线。是渐近方向的条件是第二基本二次型等于零:
渐近曲线的密切面与曲面一致。 由此可见,渐近曲线在其上一点与曲面构成二阶接触。 此外还有爱涅勃定理: 渐近曲线的挠率,K为曲面的总曲率(时,无渐近曲线)。 [共轭曲线] 在曲面上一点的两个方向与满足 则称它们互为共轭方向。 渐近方向是自己共轭的。 曲面上一条曲线C的切面族的特征线的方向为C的切线的共轭方向。 满足上面的微分方程的两族曲线构成的网称为共轭网。 [极小曲面] 平均曲率的曲面称为极小曲面,它也可定义为张在已知边界上面积最小的曲面。一个曲面为极小曲面的充分必要条件是:渐近曲线构成正交网。 注意:坐标线(u=常数和=常数)是共轭的充分必要条件是:;坐标线是曲率线的充分必要条件是:;坐标线是渐近曲线的充分必要条件是:。 |
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