2. 罗素怪异

   上面已经用例子说明怎样用列举元素的办法来表示一个集.但是当一个集的全部元素无法列举的时候,这个集应该怎样表示呢?在集论发展的初期,流行的习惯是把一个集说成是“所有满足某条件的事物的全体”.如果把“某个事物x满足某条件”这句话表示成一个逻辑公式p(x),那末按照所说的这种习惯表示法,一个集可以记作{x|p(x)}或{x:p(x)}(所有使p(x)成立的x的全体).一般往往认为只要所说的条件是明确的,也就是对任何x,p(x)和(非p(x),就是p(x)的否定)有一个且只有一个成立,那末这种表示法是没有问题的.可是实际上并不如此.下面举著名的罗素怪异当例子:

   设.如果z是集,那末z也是事物,因此zz和zz不能都成立.假定zz,那末z应该满足所说的条件xx,因此zz,自相矛盾.假定zz,那末z已经满足所说的条件xx,因此zz,又自相矛盾.这就叫罗素怪异.

   根据定义的注释,z不是集.因此罗素怪异实际上是错误地假设“z是集”引起的.除了这个形式逻辑上的理由外，对罗素怪异还可做更深入的解释，但是有个根本的问题不好解决，既然{x|xx}不是集，那末别的{x|p(x)}可以算作集吗?

   为了回答这个问题,集的概念必须进一步精密化,因此下面介绍公理系统.