单词 | 流形 | ||||||||||||||||||||||||||||||||
释义 | § 6 流 形 [n维实流形] 假定M是T2联结空间,M有一个合盖开集族S,对每个开集VS,存在一个拓扑变换fV把V变上一个n维区间,那末称{ fV|VS }为M的一个n维实流形结构,称M是一个n维实流形. [局部坐标法] 假定{ fV|VS }是流形M的一个流形结构,那末称每个VS是坐标区域.每个fV 是V里的局部坐标法,对每点xV, 称为x的坐标,实数xk(k=1,××× ,n)称为x的第k个坐标. [衔接关系] 假定VS,V'S,V∩V'¹φ ,那末每一点xV∩V'在fV和fV' 这两个局部坐标法下各有坐标和,它们的关系可表示为 (1) 由流形的定义,是把fV(V∩V')变上fV'(V∩V')的拓扑变换,称为从局部坐标法fV 到局部坐标法fV' 的衔接关系. [微分结构与微分流形] 假定{ fV |VS }是流形M的一个流形结构,是从fV 到fV' 的衔接关系. 的表达式(1)可以改写为方程组 (2) 如果(2)中各个函数在fV(V∩V')里关于实变数x1,×××,xn的1到m各阶偏导数都存在并且连续,那末称是m级可连续微分的.如果每个的各阶偏导数在fV(V∩V')里都存在(因此都连续),那末称是∞级可连续微分的.如果每个在fV(V∩V')里解析(即在每点<x10,×××,xn0>(fV(V∩V'))的一个邻域里,( x1,×××,xn)都可以展开成n个实变数的幂级数),那末称是解析的或者ω级可连续微分的. 如果一个流形结构{ fV|VS }的所有衔接关系都是m级可连续微分的(因此都是可逆m级可连续微分的),那末称它为m级微分结构.如果一个流形结构的所有衔接关系都是∞级可连续微分的,那末称它为∞级微分结构.如果一个流形结构的所有衔接关系都是解析的,那末称它为解析结构. 假定一个实流形M的一个流形结构{ fV|VS }是m阶微分结构或者∞级微分结构或者实解析结构,那末分别说M是这结构下的m级微分流形或者∞级微分流形或者实解析流形. [微分结构的等价] 假定{ fV|VS }是流形M的一个m级微分结构.又假定G是M里的一个开集,f是在G里定义的一个函数.对每一点xG∩V(VS),f(x)可以表示为 f(x)=() 假定关于这n个实变数的1到k(0km)各阶偏导数都连续,那末称f在G∩V里可k级连续微分.如果f在每个G∩V(VS)里都可k级连续微分,那末称f在G里可k级连续微分,记作fCk(G),由于{ fV|VS }的所有衔接关系都可m级连续微分,并且假设0km,上面这样的定义对任何xV∩V'(VS, V'S)都不会产生矛盾. 设{ fV|VS }和{ fW|Wπ }是流形M的两个m级微分结构(其中π也是M的一个合盖开集族).如果{ fV|VS }∪{ fW|Wπ }是M的一个m级微分结构,那末称{ fV|VS }和{ fW|Wπ }等价.流形M的两个m级微分结构等价的充分必要条件是:对M里任何开集G,它们所决定的各个函数族Ck(G)(k=0,1,×××,m)一致. 流形M的两个∞级微分结构等价或两个实解析结构等价的概念也可类似地定义. [可定向流形] 假定n维实数空间里的一点的一个邻域被一个拓扑变换f变上一点的一个邻域,即f()=.如果f可逆连续微分,并且雅可比式
那末称f在这一点保持架势. 如果f不可微分,用差商(见第五章)代替偏导数同样可规定f在一点保持架势. 假定流形M有一个流形结构,它的任何一个衔接关系都在各自的定义开集里的每一点保持架势,那末称这流形结构是一个定向流形结构,称流形M被它定了向. 假定{ fV|VS }和{ fW|Wπ }是流形M的两个定向结构,而{ fV|VS }∪{ fW|Wπ }也是M的一个定向结构,那末称它们定的向一致. 假定{ fV|VS }是流形M的一个定向结构,又假定 fV(x)= xV 那末 gV(x)= xV 是另一个定向结构{ gV|VS }.显然{ fV|VS }∪{ gV|VS }不再是定向结构.那末称{ fV|VS }和{ gV|VS }定的向相反. 因此,如果流形M有一个定向结构,那末M有两类定向结构,同一类的结构定的向相同,不同类定的向相反.所以在未指定那一类定向结构的时候,只说有定向结构的流形M是可定向的. 可以证明,可定向流形的任何一个流形结构只要象上面规定gV那样修改一部分局部坐标法,就可以成为一个定向结构,定的向可以跟这一类定向结构一致,也可以跟另一类的一致. 因此,一个可定向的微分流形的微分结构虽然不都是定向的,但是每个微分结构等价类中,一定包含两种定向结构,定的向彼此相反. 不可定向的流形最简单的例子是“麦比乌斯(Möbius)带”,它是一个单侧曲面,它的模型可以用下面方法得到,把一个长方形的纸 扭转180°,把两边ad和cb粘起来,a与c重合,b与d重合. [复解析流形] 把二维实数空间R2里的点<x1, x2>改记作复数x1+ix2,就得到一维复数空间C1,C1就是R2的普通拓扑当拓扑.R2的普通拓扑可以用二维区间全体当基,也可以用开圆全体当基.在C1里为了记号方便,用后者当基比较常见.一个以复数z0为中心的开圆可以表示为{z|zC1且|z-z0|<r},这里半径r是一个正数. n个C1的拓扑乘积称为n维复数空间Cn,Cn的拓扑的一个基是n个C1里的开圆的直接积的全体,n个开圆的直接积称为n重柱. 在流形的定义中,如果把“n维区间”改作“n重柱”,就成为“复流形”的定义. 复流形的复解析结构跟实流形的实解析结构同样定义.特别,一维复解析流形称为黎曼面,是复变函数论的一个重要概念(见第十章). [存在定理] 定理1 有的流形不可能有一级微分结构. 注意,当mm'1时,由定义,m级微分结构必定是m'级微分结构,所以定理1所说的那种流形一定不可能有任何级的微分结构. 定理2 第二可数实流形的一个m(m1)级微分结构一定有等价的∞级微分结构(这里等价的意思是当作m级微分结构看). 定理3 8维欧氏空间里的球面有不等价的微分结构. 从定理3知道,不等价的微分结构的流形确实存在.至于对球面的微分结构问题本身的认识,现在已经证明了每个的微分结构的不同的等价类的数目dn等于某个有限群的元素的个数,并且有很多dn已经算出来了,例如
从表上看到,一共有28类微分结构,不同类的不等价.d3,也就是的不等价的微分结构的数目,还没有算出来. 定理4 第二可数的可定向的二维实流形的任何一个m(1m∞)级微分结构跟一个复解析结构等价(把后者看作m级实微分结构). |
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