§ 6 流 形
[n维实流形] 假定M是T2联结空间，M有一个合盖开集族S，对每个开集V
S，存在一个拓扑变换fV把V变上一个n维区间，那末称{ fV|V
S }为M的一个n维实流形结构，称M是一个n维实流形.
[局部坐标法] 假定{ fV|V
S }是流形M的一个流形结构，那末称每个V
S是坐标区域.每个fV 是V里的局部坐标法，对每点x
V，
称为x的坐标，实数xk（k=1,××× ,n）称为x的第k个坐标.
[衔接关系] 假定V
S，V'
S，V∩V'¹φ ，那末每一点x
V∩V'在fV和fV' 这两个局部坐标法下各有坐标
和
，它们的关系可表示为
（1）
由流形的定义，
是把fV（V∩V'）变上fV'（V∩V'）的拓扑变换，称为从局部坐标法fV 到局部坐标法fV' 的衔接关系.
[微分结构与微分流形] 假定{ fV |V
S }是流形M的一个流形结构，
是从fV 到fV' 的衔接关系. 
的表达式（1）可以改写为方程组
（2）
如果（2）中各个函数
在fV（V∩V'）里关于实变数x1,×××,xn的1到m各阶偏导数都存在并且连续，那末称
是m级可连续微分的.如果每个
的各阶偏导数在fV（V∩V'）里都存在（因此都连续），那末称
是∞级可连续微分的.如果每个
在fV（V∩V'）里解析（即在每点<x10,×××,xn0>（
fV（V∩V'））的一个邻域里,
( x1,×××,xn)都可以展开成n个实变数
的幂级数），那末称
是解析的或者ω级可连续微分的.
如果一个流形结构{ fV|V
S }的所有衔接关系都是m级可连续微分的（因此都是可逆m级可连续微分的），那末称它为m级微分结构.如果一个流形结构的所有衔接关系都是∞级可连续微分的，那末称它为∞级微分结构.如果一个流形结构的所有衔接关系都是解析的，那末称它为解析结构.
假定一个实流形M的一个流形结构{ fV|V
S }是m阶微分结构或者∞级微分结构或者实解析结构，那末分别说M是这结构下的m级微分流形或者∞级微分流形或者实解析流形.
[微分结构的等价] 假定{ fV|V
S }是流形M的一个m级微分结构.又假定G是M里的一个开集，f是在G里定义的一个函数.对每一点x
G∩V（V
S），f（x）可以表示为
f（x）=
（
）
假定
关于
这n个实变数的1到k（0
k
m）各阶偏导数都连续，那末称f在G∩V里可k级连续微分.如果f在每个G∩V（V
S）里都可k级连续微分，那末称f在G里可k级连续微分，记作f
Ck（G），由于{ fV|V
S }的所有衔接关系都可m级连续微分，并且假设0
k
m，上面这样的定义对任何x
V∩V'（V
S, V'
S）都不会产生矛盾.
设{ fV|V
S }和{ fW|W
π }是流形M的两个m级微分结构（其中π也是M的一个合盖开集族）.如果{ fV|V
S }∪{ fW|W
π }是M的一个m级微分结构，那末称{ fV|V
S }和{ fW|W
π }等价.流形M的两个m级微分结构等价的充分必要条件是：对M里任何开集G，它们所决定的各个函数族Ck（G）(k=0，1，×××，m）一致.
流形M的两个∞级微分结构等价或两个实解析结构等价的概念也可类似地定义.
[可定向流形] 假定n维实数空间里的一点
的一个邻域被一个拓扑变换f变上一点
的一个邻域，即f（
）=
.如果f可逆连续微分，并且雅可比式
那末称f在
这一点保持架势.
如果f不可微分，用差商（见第五章）代替偏导数同样可规定f在一点
保持架势.
假定流形M有一个流形结构，它的任何一个衔接关系都在各自的定义开集里的每一点保持架势，那末称这流形结构是一个定向流形结构，称流形M被它定了向.
假定{ fV|V
S }和{ fW|W
π }是流形M的两个定向结构，而{ fV|V
S }∪{ fW|W
π }也是M的一个定向结构，那末称它们定的向一致.
假定{ fV|V
S }是流形M的一个定向结构，又假定
fV（x）=
x
V
那末
gV（x）=
x
V
是另一个定向结构{ gV|V
S }.显然{ fV|V
S }∪{ gV|V
S }不再是定向结构.那末称{ fV|V
S }和{ gV|V
S }定的向相反.
因此，如果流形M有一个定向结构，那末M有两类定向结构，同一类的结构定的向相同，不同类定的向相反.所以在未指定那一类定向结构的时候，只说有定向结构的流形M是可定向的.
可以证明，可定向流形的任何一个流形结构只要象上面规定gV那样修改一部分局部坐标法，就可以成为一个定向结构，定的向可以跟这一类定向结构一致，也可以跟另一类的一致.
因此，一个可定向的微分流形的微分结构虽然不都是定向的，但是每个微分结构等价类中，一定包含两种定向结构，定的向彼此相反.
不可定向的流形最简单的例子是“麦比乌斯（Möbius）带”，它是一个单侧曲面，它的模型可以用下面方法得到，把一个长方形的纸
扭转180°，把两边ad和cb粘起来，a与c重合，b与d重合.
[复解析流形] 把二维实数空间R2里的点<x1, x2>改记作复数x1+ix2，就得到一维复数空间C1，C1就是R2的普通拓扑当拓扑.R2的普通拓扑可以用二维区间全体当基，也可以用开圆全体当基.在C1里为了记号方便，用后者当基比较常见.一个以复数z0为中心的开圆可以表示为{z|z
C1且|z－z0|<r}，这里半径r是一个正数. n个C1的拓扑乘积称为n维复数空间Cn，Cn的拓扑的一个基是n个C1里的开圆的直接积的全体，n个开圆的直接积称为n重柱.
在流形的定义中，如果把“n维区间”改作“n重柱”，就成为“复流形”的定义.
复流形的复解析结构跟实流形的实解析结构同样定义.特别，一维复解析流形称为黎曼面，是复变函数论的一个重要概念（见第十章）.
[存在定理]
定理1 有的流形不可能有一级微分结构.
注意，当m
m'
1时，由定义，m级微分结构必定是m'级微分结构，所以定理1所说的那种流形一定不可能有任何级的微分结构.
定理2 第二可数实流形的一个m（m
1）级微分结构一定有等价的∞级微分结构（这里等价的意思是当作m级微分结构看）.
定理3 8维欧氏空间里的球面
有不等价的微分结构.
从定理3知道，不等价的微分结构的流形确实存在.至于对球面
的微分结构问题本身的认识，现在已经证明了每个
的微分结构的不同的等价类的数目dn等于某个有限群的元素的个数，并且有很多dn已经算出来了，例如
| n | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 |
| dn | 1 | 1 | ? | 1 | 1 | 1 | 28 | 2 | 8 | 6 | 992 | 1 | 3 | 2 | 16256 |
从表上看到，
一共有28类微分结构，不同类的不等价.d3，也就是
的不等价的微分结构的数目，还没有算出来.
定理4 第二可数的可定向的二维实流形的任何一个m（1
m
∞）级微分结构跟一个复解析结构等价（把后者看作m级实微分结构）.