4. 里兹方法在特征值问题上的应用
算子方程
Au－u=0
的非零解称为算子A的特征值，对应的非零解u称为所对应的特征函数.
对线性算子A，若存在常数K，使对任何MA的元素成立
(A
,)≥K||||2
则称A为下有界算子，正定算子是下有界的（此时K=0）.记(A,)/||||2的下确界为d.
定理1 设A为下有界对称算子，若存在不为零的元素0MA，使
则d就是A的最小特征值，0为对应的特征函数.
于是求下有界对称算子的最小特征值问题化为变分问题，即在希尔伯特空间中求使泛函(A,)/||||2取极小的元素，或在||||=1的条件下求使泛函(A,)取极小的元素.
定理2 设A是下有界对称算子，
1≤2≤…≤n是它的前n个特征值，1,2,…,n是对应的标准正交特征函数，如果存在不为零的元素
，在附加条件
(,)=1, (,1)=0, (,2)=0, …, (,n)=0
下使泛函(A,)取极小，则n+1是算子A的特征函数，对应的特征值
就是除1 
，n外的最小的一个特征值.
于是求第n+1个特征值就化为变分问题，即在附加条件
(,)=1, (,1)=0, (,2)=0
, (,n)=0
下求使泛函(A,)取极小的元素.
为了利用里兹方法求特征值，在MA中选取一列在H0中完备的坐标元素序列{i}, (i=1,2
)， 令
，确定ak，使在条件 (un,un)=1下，(Aun,un)取极小，这个问题化为求n个变元a1,a2,…,an的函数
在条件
下的极值问题，一般可用拉格朗日乘数法解（见第九章§3，t），此时
的最小的根即为特征值的近似值，如果将上式的根按大小排列，就依次得后面的特征值的近似值，但精确度较差.
对一般算子方程
Au－Bu=0
如果A为下有界对称算子，B为正定算子，则
的根就是特征值的近似值.