§2       连分数

    [简单连分数]  设a 为实数(有理数或无理数),则可表成简单连分数

                                (2)

简记为                             

或                                       

式中为整数,为正整数.

    若a 为有理数,则必可展成有限连分数

式中是由辗转相除法一列等式(1)所得到的一列不完全商.如果规定最后一个不完全商大于1,即当时,可写成

则表法唯一.

    若a 为无理数,则可展成无限连分数,且表法唯一.

    [完全商与不完全商] 简单连分数(2)中称为a 的第i个不完全商.数称为a 的第n个完全商.显然.

    完全商与不完全商的关系:

                           (n=0,1,2,…)

式中为a的第n个渐近分数的分子和分母(见下).

    [渐近分数与最佳渐近分数] 简单连分数(1)中截取

称为a 的第n个渐近分数.渐近分数都为既约分数.

    1°  渐近分数的等式与不等式

                            (当时)

                    (当a为实二次无理数时)

(式中为n的递减函数。a 为有理数时,此式仅当时成立,)

    2°  设且则

因此在分母不大于的所有分数中,与a 最接近(称为最佳渐近分数).

    3°  a 的两个相邻渐近分数中必有一个适合于

    4°  a 的三个相邻渐近分数中必有一个适合于

    5°  设a 为实数,为有理数,M为正整数.若a 适合于不等式

则a 展成连分数的不完全商至少有一个大于M－2.

    [周期连分数及其充分必要条件]当时,若,则连分数

称为以k为周期的周期连分数,记做

                                                           (3)

当l=0时,(3)式称为纯周期连分数,当l=1时,(3)式称为拟纯周期连分数.

    1°  实数a 可展成周期连分数的充分必要条件是:a是一个有理数域上二次不可约多项式的根.

    2°  实二次无理数a 可展成纯周期连分数的充分必要条件是:a >1且,这里a’为a 的共轭实数.

    3°  实二次无理数a 可展成拟纯周期连分数的充分必要条件是:a’<[a]-1,这里a’为a 的共轭实数, [a ]为a 的整数部分.

    [,e与p 的连分数]

    1°  设为非完全平方数,则

    2°  设e为自然对数的底,则

式中不完全商的通式为

    3°  设p为圆周率,则

它的渐近分数为

    [二次域Q()的整底的连分数表]

    [黄金分割与费波那奇序列]

1°  把线段AB分成中外比(即)的分割称为黄金分割.也就是求解代数方程                  

的一个根            

    黄金分割的几何作图见图20.1(E为AB中点).

    2°  由递推关系

产生的序列

称为费波那奇序列.其通项表达式为

    3°  当时,.

    4°  是的最佳渐近分数,是的最佳渐近分数.

    5°  设a,b为自然数,由递推关系

产生的序列的通项表达式为

并且具有性质: 当时,.

    [推广的费波那奇序列] 由递推关系

产生的序列称为m级推广的费波那奇序列.其通项表达式为

                     *

   设w 为方程

的唯一正实根,则

                        w=