单词 | 连分数 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
释义 | §2 连分数 [简单连分数] 设a 为实数(有理数或无理数),则可表成简单连分数 (2) 简记为 或 式中为整数,为正整数. 若a 为有理数,则必可展成有限连分数 式中是由辗转相除法一列等式(1)所得到的一列不完全商.如果规定最后一个不完全商大于1,即当时,可写成 则表法唯一. 若a 为无理数,则可展成无限连分数,且表法唯一. [完全商与不完全商] 简单连分数(2)中称为a 的第i个不完全商.数称为a 的第n个完全商.显然. 完全商与不完全商的关系: (n=0,1,2,…) 式中为a的第n个渐近分数的分子和分母(见下). [渐近分数与最佳渐近分数] 简单连分数(1)中截取 称为a 的第n个渐近分数.渐近分数都为既约分数. 1° 渐近分数的等式与不等式 (当时) (当a为实二次无理数时) (式中为n的递减函数。a 为有理数时,此式仅当时成立,) 2° 设且则 因此在分母不大于的所有分数中,与a 最接近(称为最佳渐近分数). 3° a 的两个相邻渐近分数中必有一个适合于 4° a 的三个相邻渐近分数中必有一个适合于 5° 设a 为实数,为有理数,M为正整数.若a 适合于不等式 则a 展成连分数的不完全商至少有一个大于M-2. [周期连分数及其充分必要条件]当时,若,则连分数 称为以k为周期的周期连分数,记做 (3) 当l=0时,(3)式称为纯周期连分数,当l=1时,(3)式称为拟纯周期连分数. 1° 实数a 可展成周期连分数的充分必要条件是:a是一个有理数域上二次不可约多项式的根. 2° 实二次无理数a 可展成纯周期连分数的充分必要条件是:a >1且,这里a’为a 的共轭实数. 3° 实二次无理数a 可展成拟纯周期连分数的充分必要条件是:a’<[a]-1,这里a’为a 的共轭实数, [a ]为a 的整数部分. [,e与p 的连分数] 1° 设为非完全平方数,则 2° 设e为自然对数的底,则 式中不完全商的通式为 3° 设p为圆周率,则 它的渐近分数为 [二次域Q()的整底的连分数表]
[黄金分割与费波那奇序列] 1° 把线段AB分成中外比(即)的分割称为黄金分割.也就是求解代数方程
的一个根 黄金分割的几何作图见图20.1(E为AB中点). 2° 由递推关系 产生的序列 称为费波那奇序列.其通项表达式为 3° 当时,. 4° 是的最佳渐近分数,是的最佳渐近分数. 5° 设a,b为自然数,由递推关系 产生的序列的通项表达式为 并且具有性质: 当时,. [推广的费波那奇序列] 由递推关系 产生的序列称为m级推广的费波那奇序列.其通项表达式为 * 设w 为方程 的唯一正实根,则 w= |
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