单词 | 矢量代数 | ||||||
释义 | 第八章 第八章 矢量算法与场论初步·张量 算法与黎曼几何初步 本章包括两个部分. 第一部分是矢量代数、矢量分析及其在场论中的应用.主要内容有:矢量的概念、矢量的算法与矢量的坐标表示;以矢量作为工具介绍了场论中的一些基本内容.例如梯度、散度与旋度等基本概念及其计算公式和性质,以及它们在不同坐标系中的表达式;叙述了矢量的积分定理(高斯公式、斯托克斯公式和格林公式);引进了仿射坐标系,阐述了三维空间中的协变矢量和逆变矢量,同时把这些概念推广到n维空间中去. 第二部分是张量代数、张量分析及其在黎曼几何中的应用.介绍了张量的概念和一些张量算法,然后以张量作为工具来阐述仿射联络空间的基本内容.例如,仿射联络、矢量和张量的平行移动,及协变微分法与自平行曲线等;并在n维空间中引进度量的概念,来定义黎曼空间,从而由具有特殊条件的仿射联络引出了黎曼联络,于是有关仿射联络空间中的一些性质可以搬到黎曼空间中来.可是,因为黎曼空间是由度量定义的,所以与度量有关的一些性质在仿射联络空间中是没有的. §1 矢量算法 一、 一、 矢量代数 [矢量概念] 只有大小的量称为标量(也称为数量或纯量).例如温度、时间、质量、面积、能量等都是标量. 具有大小和方向的量称为矢量(也称为向量).例如力、速度、力矩、加速度、角速度、动量等都是矢量. 在几何中的有向线段就是一个直观的矢量.通常用空间中的有向线段AB来表示矢量.用长度表示大小,用端点的顺序AB表示方向.A称为始点,B称为终点,这个矢量记作,或用黑正体字母a表示.矢量的大小(或长度)的数值称为它的模或绝对值,用记号或|a|表示. 矢量按其效能可分成三种基本类型: 具有大小和方向而无特定位置的矢量称为自由矢量.例如力偶. 沿直线作用的矢量称为滑动矢量.例如作用于刚体的力. 作用于一点的矢量称为束缚矢量.例如电场强度. 在这里所讨论的矢量,除特别说明外,都指自由矢量,就是说,所有方向相同,长度相等的矢量,不管始点如何,都看作相同的矢量. 模等于1的矢量称为单位矢量. 模等于零的矢量称为零矢量,记作0,它是始点和终点重合的矢量. 模与矢量的模相等而方向相反的矢量称为a的负矢量,记作-a. 始点与原点O重合而终点位于一点M的矢 量(图8.1)称为点M的矢径(或向径),记作 r,原点称为极点.如果M的直角坐标为x,y,z , 则有 r==(x,y,z)=xi+yj+zk 式中i,j,k分别为x轴,y轴,z轴的正向单位 矢量,称为坐标单位矢量(或基本矢量). [矢量的基本公式]
[加法] 若a=(ax,ay,az),b=(bx,by,bz),则 a+b=( ax+bx,ay+by,az+bz) 把矢量的始点移到原点O,以a,b为边作平行四边行,由原点作出的对角线就表示和矢量a+b(称为平行四边形法则,见图8.2);或者把二矢量首尾相接,由始点到终点的矢量即为和矢量a+b(称为三角形法则,见图8.3). 加法运算适合如下规律: (交换律) (结合律) a+0=0+a=a,a+(-a)=0 [减法] 若a=(ax,ay,az),b=(bx,by,bz),则 a-b=(ax-bx,ay-by,az-bz) 把矢量b的负矢量与矢量a相加,得矢量a-b (图8.4). 对任意两个矢量a和b成立三角形不等式: |a+b||a|+|b| [数乘] 以实数乘矢量a称为数乘,记作a.当>0时,a的模伸缩倍,方向保持不变;当<0时,a的模伸缩||倍,而方向与a相反(图8.5),如果a=(ax,ay,az)则 a=(ax, ay, az) 设,为两实数,a,b为两矢量,则数乘运算适合 下列规律: (a)=()a (结合律) (+)a=a+a (分配律) (a+b)=a+b (分配律) [矢量的分解] 1 设a,b,c为三个共面的矢量,而b和c为非共线矢量,如果把它们移到公共始点O,由矢量c的终点C作两条平行于a,b的 直线,各交a,b(或延长线)于M,N(图8.6),则 c=+= a+b 这称为矢量c对a,b的分解. 2 设a,b,c 为非共面矢量,而d为任一矢量,把 它们移到公共始点O,由矢量d的终点D作三个平面分别 平行于(b,c)平面,(c,a)平面和(a,b)平面,且与a,b,c(或延长线)分别交于L,M,N(图8.7),则 d=++=a+b+ 称为矢量d对a,b,c的分解. 3 如果两个非零矢量a与b有线性关系 a+b=0 式中, 不全为0,则称这两个矢量共线(即 a//b);反之也真.称这两个矢量a,b为线性相关. 4 设a,b为两个非零矢量,若a+b =0,则有=0,=0,这时称a,b为线性无关. 5 若三个非零矢量a,b,c有线性关系a+b+=0,式中,,不全为零,则这三个矢量共面,反之也真.这时,称a,b,c为线性相关.如果a,b,c为三个非零矢量,而a+b+=0,则有===0,这时,称a,b,c为线性无关. 6 四个(或四个以上)矢量a,b,c,d必有线性关系;就是说它们一定线性相关.这时,必有不全为0的四个数,,,,成立a+b++d=0. [标量积(数量积、点积、内积)] 设a=(ax, ay, az),b=(bx,by,bz),|a|=a,|b|=b,a,b两矢量的夹角为,则称数值ab cos为矢量a,b的标量积(也称为数量积、点积或内积).记作 a·b=ab=ab cos(0) 可以看作矢量a的长度乘以矢量b在a上的投影的长度(图8.8). 标量积运算适合以下的规律: a·b=b·a (交换律) a·(b+c)=a·b+a·c (分配律) (a)·(b)=a·b (数乘的结合律) a·a=a2=|a|2=a2 若a,b为非零矢量,a·b=0,则ab;反之也真. i·i=j·j=k·k=1,i·j=j·k=k·i=0 a·b=axbx+ayby+azbz (即对应坐标相乘之和) [矢量积(叉积、外积)]设a=(ax,ay,az),b=(bx,by,bz),|a|=a,|b|=b,a,b两矢量的夹角为,则定义a×b为两矢量的矢量积(也称为叉积或外积),它是一个矢量,即长度等于以a,b为边的平行四边形的面积(图8.9阴影部分) |a×b|=absin (0) 它的方向垂直于两矢量a和b,并且a,b,a×b构成 右手系(图8.9). 矢量积运算适合下列规律: a×b=-b×a (反交换律) (a+b)×c=a×c+b×c (分配律,次序不能交换) (a)×(b)=(a×b) [(+)a]×b=(+)(a×b)=(a×b)+(a×b) a×a=0 若a,b为非零矢量,则a,b共线(即a//b)的充分必要条件是: a×b=0 i×i=j×j=k×k=0,i×j=k,j×k=i,k×i=j a×b==(ay bz- az by)i+( az bx-ax bz)j+( ax by-ay bx)k [两矢量的夹角] cos(a,b)= sin(a,b)= [拉格朗日恒等式] (a×b)·(c×d)=(a·c)(b·d)-(a·d)(b·c) 特别 (a×b)2=a2b2-(ab)2 即 (ay bx- az by)2+( az bx-ax bz)2+( ax by-ay bx)2 =(ax2+ay2+az2)(bx2+by2+bz2)-(axbx+ayby+azbz)2 [三个矢量的混合积] 设a=(ax,ay,az),b=(bx,by,bz),c=(cx,cy,cz)为三个矢量,则它们的混合积定义为 (abc)=a·(b×c)==ax(bycz-bzcy)+ay(bzcx-bxcz)+az(bxcy-bycx) 混合积具有性质: 1 a·(b×c)=(a×b)·c 注意,一般情况下等式 (a·b)·c =a·(b·c) (a×b)×c =a×(b×c) 不成立. 2 (abc)=(bca)=(cab)=-(acb)=-(bac)=-(cba) 即有轮换性: a·(b×c)=b·(c×a)=c·(a×b)=-a(c×b)=-b(a×c)=-c(b×a) 3 混合积(abc)是一个数,它的绝对值等于以a,b,c为边的平行六面体的体积. 4 三个矢量共面的充分必要条件是:(abc)=0. [三重矢积] a×(b×c)=(a·c)b-(a·b)c (a×b)×c=(a·c)b-(b·c)a 采用a,b,c轮换法还可推出其余两个同类公式. [多重积的几个公式] a×(b×c)+b×(c×a)+c×(a×b)=0 (a×b)·(c×d)==(a·c)(b·d)-(a·d)(b·c) (a×b)×(c×d)=(abd)c-(abc)d=(cda)b-(cdb)a a×[b×(c×d)]=(b·d)(a×c)-(b·c)(a×d) (a×b b×c c×a)=(abc)2 (a1a2a3)(b1b2b3)= (a×b c×d e×f)=(abd)(cef)-(abc)(def) |
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