二、函数项级数收敛的判别法

1. 收敛与一致收敛

[收敛与收敛区域] 设u_n(x)(n=)都是定义在某区间[a,b]上的函数，则称

为定义在[a,b]上的函数项级数.若对区间[a,b]上的每点的部分和

S_n(x)=

当n→∞时，都有极限S(x)，即

S_n(x)= =S(x)

则称函数项级数在区间[a,b]上是收敛的，函数S(x)是它的和，区间[a,b]是收敛区域.函数

r_n(x)=

称为余项.显然在收敛区域上的每点x，都有

r_n(x)=0

也就是说，对任意给定的ε>0与收敛区域[a,b]上的每点x，都存在一个自然数N(ε,x)(N的大小不但与给定的正数ε有关，而且与x的数值有关)，使得当n≥N时，都有

|r_n(x)|<ε或||<ε

[一致收敛] 设函数项级数

对区间[a,b]上每点都收敛，它的和是S(x).

若对给定的ε0，都存在一个只与ε有关而与x的数值无关的自然数N(ε),使得当n≥N时，不等式

|r_n(x)|<ε或||<ε

对于[a,b]上的一切x都成立，则称函数项级数在区间[a,b]上一致收敛，即部分和S_n(x)一致收敛于级数的和S(x).

由一致收敛的定义可知函数项级数在某区间[a,b]上一致收敛比在[a,b]上点点收敛的要求高.在某区间[a,b]上一致收敛的一个函数项级数在[a,b]上一定点点收敛，但在区间[a,b]上点点收敛的函数项级数在[a,b]上不一定一致收敛.