2．多变量的幂级数
[双变量的幂级数] 按变量x,y的正整数幂次排列的形如
（2）
的重级数称为双变量x,y的幂级数.
多变量幂级数的收敛范围的研究有很多地方与单变量的不同，但仍有
定理 若在x=x0,y=y0时级数（2）收敛，则当
|x|<|x0|,|y|<|y0|
时，级数也收敛.
[收敛范围] 如果M是两个变数x,y的区域，在其中各点上幂级数（2）都收敛，而在其外各点上幂级数（2）发散，在边界点上可能发散，也可能收敛.那末区域M称为幂级数（2）的收敛范围.
双变量的幂级数的收敛范围并不一定是|x|<R1，|y|<R2的形式，例如
1° 级数
的收敛范围是|x|<1，|y|<1.
2° 级数
处处收敛.
3° 级数
=1+x+
+xy+x2y+x3y+
+x2y2+
(=(1+x+
)[1+xy+
]=
)
的收敛范围是|x|<1，|xy|<1.
以上结果容易推广到多变量的幂级数中去.