3．约束条件为等式的条件极值
求函数
y= f (x), x=(x1,x2
)
在m(m<n)个约束条件
gk(x)=0, k =1,2,
下的极值.
[直接代入法] 从约束条件的m个方程中将其m个变量解出，用其余n-m个变量表示，然后直接代入函数中去，这样就变为一个求n－m个变量的函数的无约束条件的极值问题.如果从约束方程能够将m个变量解出，这个方法是可行的.
[拉格朗日乘数法] 引进修正的系数
F=y+
式中λk为待定常数.把F当作n+m个变量x1,
xn和λ1,λ2,
的无约束的函数，对这些变量求一阶偏导数得稳定点所要满足的方程：
， i =1,
,n
gk=0, k =1,2,
例1 求函数
y=
在约束条件
2x1+3x2=6
下的极值.
解 由于
y=
和 g=2x1+3x2－6=0
可知修正的函数为
F= (
)+λ(2x1+3x2－6)
解方程组
得 λ＝
，x1=
,x2=
所以函数F的稳定点为
x1=
, x2=
由于 D1=
= 8 >0
D2=
=80>0
这是一个极小点，函数y的极小值为
.
［惩罚函数法］ 在搜索极小点时引进修正函数
F = y+(1)
式中Pk是任意大的正整数，
称为惩罚函数.这样就可把问题化为新函数F的无条件极值问题，可以用不断增大Pk的数值来极小化.也可引进如下形式的新函数
F= y+
式中Pk是任意大的正整数.
对搜索极大点时，惩罚函数前取负号，即引进新函数
F= y－
或 F= y－
例２ 用惩罚函数法解例１.
解 利用方程（1）引进修正函数
F= y+P(g)2=
解方程组
得 x1=
x2，x2=
当P很大时，x2趋于
，x1趋于
，这就是稳定点.由于
D1=
=8(1+P)>0
D2=
=16(5+14P)>0
所以稳定点是一个极小点，这和例1的结果一致.