五、第二类Fr方程的逐次逼近法与诺伊曼级数解

[逐次逼近法]  在某种情形下，第二类Fr方程可用逐次逼近法来解。为此，设方程

                                                   (1)

的解可用l的幂级数来表达：

                    y(x)=y₀(x)+y₁(x)l+y₂(x)l²+L                     (2)

   如果级数(2)在区间[a,b]上关于x是一致收敛的，那末把它代入(1)中，可逐项积分，比较l 的系数就得到确定y_n(x)的递推公式

        y₀(x)=F(x),      (n=1,2,L)            (3)

式中y_n(x)(n=1,2,L)都是连续函数。若充分小，则级数(2)关于x绝对且一致收敛，于是级数(2)是连续函数并且是积分方程(1)的解。

[叠核 × 预解核 × 诺伊曼级数解]  设K(x,x )为核，经递推公式

K₁(x,x )=K(x,x ),     (n=2,3,4,L)              (4)

产生的K_n(x,x )称为已知核K(x,x )的n次叠核。它满足下面公式

式中p,q为任意正整数。

由于F(x)和K(x,x )分别在[a,b]上和k₀(a≤x≤b，a≤ξ≤b）上连续，所以各有极大值m和M：

，   

当时，级数在k₀内绝对且一致收敛，记作

                                                   (5)

如果用自由项F(x)来表达y_n(x),则由(3),(4)推出

并把它代入级数(2)得到

                                            (6)

因为级数(5)在k₀内一致收敛，所以对[a,b]上任一固定值x,它在区间内关于x一致收敛，故得积分方程(1)的解

                    ，              (7)

式中不依赖于自由项F(t )的函数R(x,x ;l )称为核的（或Fr方程的）预解核，级数(5)称为诺伊曼级数。

[存在性与唯一性定理]  如果把级数(5)改写为

由(5)上式化为

改变符号可写为

因此，当把方程(1)中F(x)换为K(x,y)时，上式表明存在预解核R(看作两个变量x,y与参数l 的函数)是方程(1)的唯一解。

例  举例说明预解核的实际算法。设积分方程(1)中

K(x,x )=1-3xx

由公式(4)算出它的各次叠核：

所以，从此容易推出（n≥3）,于是有

即

值得注意的是，由此式可以给出一切λ值（λ=±2除外）的预解核，但相应的诺伊曼级数只当时才收敛。