2．序列极限存在的判别法
[柯西准则] 序列{xn}的极限存在的充分必要条件是：对任意给定的ε>0，都存在正整数N=N(ε)，使得当n>N时，不等式
|
|<ε
对一切正整数p>0都成立.
[上下极限相等] 序列{xn}的极限（有穷或无穷）存在的充分必要条件是：
=
[单调有界] 单调有界序列必有极限.
若{xn}为递增序列，且xn≤M(n=1,2,…)，则
存在而且不超过M.
若{xn}为递减序列，且xn≥M(n=1,2,…)，则
存在而且不小于M.
[有有界变差]* 有有界变差序列(即存在正数c，使得|
|+|
|+
|<c,n=2,3,
必有极限.
[序列对比] 若序列{xn}满足条件yn≤xn≤zn，且
=
=c，则
=c
[施笃兹定理] 对序列
,若(i)n≥n0(n0为某一自然数)时，yn+1>yn，(ii) =+∞,(iii) 
=l (有限数或
)，则
=
=l
[加权平均序列] 设wnk≥0(k =1,2,
n;n=1,2
),
=1,对固定的k, wnk=0.如果xn=a,则
=a
* 对于函数有有界变差是这样定义的：假定f (x)在[a,b]上有限，在[a,b]上作分点a=x0<x1<…
<xn-1<xn=b,作和
,V的上确界叫做f (x)在[a,b]上的全变差，记为
.
如果<+
,那么称f (x) 在[a,b]上有有界变差.