二、线性子空间

    [线性子空间]  设S是域F上线性空间V的一个非空子集，若S对于V的线性运算也构成线性空间，则称S为V的一个线性子空间，简称为子空间.

设S是域F上线性空间V的一个子集，若关于线性运算是封闭的，即

(i) 若则；

(ii) 若,则；

则S是V的子空间.

例如，在线性空间V中的单个零矢量所组成的子集是V的一个子空间，称为零子空间. V本身也是V的一个子空间. 这两个子空间称为V的平凡子空间.

设为域F上线性空间V中的一组矢量，这组矢量的一切线性组合

构成V的一个子空间，称为由生成（或张成）的子空间. 这是V的非平凡子空间.

    [子空间的交与和] 设S，T是域F上线性空间V的子空间，属于S又属于T的V中一切矢量所构成的子集称为S与T的交（通集），记作. 由能表示为的一切矢量构成的子集称为S与T的和（和集），记作（或）.

设S与T是F上线性空间V的两个子空间，则S与T的交以及和都是V的子空间.

[第二维数定理]  设S与T是线性空间V的两个子空间，则           

（这里表示线性空间V的维数）.

推论  若n维线性空间V中两个子空间S与T的维数之和大于n，则S，T必含有公共非零矢量.

例如，三维空间中两个不同平面（二维子空间）交于一条直线，由于，但，所以.

[子空间的直和]  设是线性空间V的子空间，若和中每个矢量α的分解式  

是唯一的. 这个和就称为直和，记作                  

子空间的直和具有以下性质：

1^o和是直和的充分必要条件是：              

仅当全为零矢量时才成立.

2^o和是直和的充分必要条件是：

                                    Φ（空集）

3^o设是线性空间V的子空间，若                

则

其逆也真.

这表明对于子空间的直和，维数是可加的. 由此可见，若

把子空间的基               

合并起来就得到子空间W的一组基.

[商空间]  设S是V的一个子空间，并设两个矢量，若，则说和是等价的，记作. 实际上，这个关系具有等价关系的三个性质：
    (i) 反身性  对每个，有；
    (ii) 对称性  若，则；
    (iii) 传递性  若，，则.
    和集合的情形一样，称两个等价的矢量和是属于同一类. 每个矢量恰好包含在一个类中，这一类记作. V中的零矢量0包含在与子空间S重合的类中.

若把每个类作为一个元素，则这一切元素组成的集是一个线性空间，称为V关于S的商空间，记作. 商空间的零矢量是，
且有

由此可见，若，则商空间的维数是零；又若S是零空间，则商空间的维数与V的维数相同.