单词 | 稳定性的概念 |
释义 | §5 稳定性理论大意 稳定性理论研究的是当微分方程右端函数与初始条件发生变化时,解的变化情况. 一、 稳定性的概念 [解的稳定与不稳定] 设微分方程组 满足初始条件的解是. 如果任意给定ε>0,总存在相应的正数δ=δ( t0 ,ε),使得只要初始值满足 此微分方程组相应的解 (i=1,2,…,n)对所有t>t0就满足 则称解是稳定的. 简单地说,如果初始值靠近某解初始值的所有解当t>t0 时总靠近某解,就说某解是稳定的. 如果对于任意给定的ε>0,不管δ>0取得多么小,总存在满足 的初始值及τ>t0,它相应的解不满足条件 则称解是不稳定的. 如果稳定,并且初始值满足 的所有解都满足 则称是渐近稳定的. [问题的简化] 给定方程组 为了研究它满足初始条件的解的稳定性,必须考察别的解与它的偏差.今令 原方程组便变为如下形式: (1) 而的稳定性归结为方程组(1)的零解xi≡0 (i=1,2,…,n) 的稳定性. 任何微分方程组的常数解常称为它的平衡点(奇点).所以(1)的零解 是平衡点. 如果任意给定ε>0,总存在相应的正数δ=δ( t0 ,ε),使得只要初始值满足 (1)的相应解对所有t>t0就满足 则称(1)的平衡点是稳定的. 如果进而满足条件 则称平衡点是渐进稳定的. 如果不论正数δ选得多么小,对于预先给定的正数ε,总存在满足 的初始值及τ>t0,它相应的解不满足条件 则称(1)的平衡点不稳定. [相空间] 给定方程组 称(x1,x2,…,xn)的空间为此方程组的相空间,特别当n=2时,称为相平面.当方程组右端函数不显含t时,它的解作为相空间的曲线,称为轨道.在其他情况下,解曲线常称为积分曲线. |
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