五、二阶偏微分方程的常用解法

    1.  分离变量法

    它是解线性微分方程常用的一种方法，特别当区域是矩形、柱体、球体时使用更为普遍.这种方法是先求满足边界条件的特解，利用迭加原理，作这些特解的线性组合，得到定解问题的解.求特解时常归结为求某些常微分方程边值问题的特征值和特征函数.以下对不同类型方程说明分离变量法的具体解法.

    [弦振动方程]

    1°  两端固定的弦振动齐次方程混合问题

    设u(x,t)=X(x)T(t)，具体解法如下：

    (1)  X(x)，T(t)满足的常微分方程：

    (2)  用此二常微分方程的解的乘积表示弦振动方程的特解u_n(x,t).

    解边值问题

当                          

时，有非零解

称λ_n为边值问题的特征值，X_n(x)为特征函数.把λ_n代入T(t)的方程，得

式中A_n,B_n为任意常数，这样就得到弦振动方程的特解：

    (3)  把u_n(x,t)迭加，形式上作级数

    (4)  利用特征函数的正交性，确定系数A_n,B_n.

    把(x)及(x)展开成傅立叶级数

式中

利用初始条件可得

于是混合问题的形式解为

    若(i) (x)具有一阶和二阶连续导数，三阶导数逐段连续，且(0)=(l)，"(0)="(l)=0;(ii)(x)连续可微，二阶导数逐段连续，(0)=(l)=0，那末形式解右端的级数一致收敛，形式解就是混合问题的正规解.

    2°  解的物理意义

弦的这种形式的振动称为驻波，点 (m=0,1n) 为不动的点，称为节点；点 (m=0,1,2n－1)处振幅最大，称为腹点；称为弦振动的固有频率；弦线发出的最低音的频率为 （τ为张力，ρ为弦的线密度）称为该弦的基音，其他频率都是它的整数倍，称为泛音.

    3°  非齐次方程的混合问题

    将u(x,t)和f(x,t)展开成傅立叶级数：

    那末根据定解条件再利用1°中(x)与(x)的傅立叶展开式，有

所以

形式解为

    若(x)具有一、二阶连续导数，三阶导数逐段连续，(x)和f(x,t)连续可微，二阶导数逐段连续，同时

(0)=(l)="(0)="(l)=0

(0)=(l)=f(0,t)=f(l,t)=0

则级数一致收敛，形式解就是非齐次方程混合问题的正规解.

    4°  遇到非齐次边界条件

作变换

可化为关于v(x,t)的齐次边界条件求解.

    [热传导方程]  热传导方程的第一边值问题

    设u(x,t)=X(x)T(t)，得

X"(x)+²X(x)=0

T'(t)+a²²T(t)=0

    特征值，对应的特征函数为，而

    作形式解

式中c_n等于(x)的傅立叶系数即.

    当(x)具有一、二阶连续导数，三阶导数逐段连续，(0)=(l)=0，则上述级数一致收敛，形式解就是正规解了.

    [拉普拉斯方程]  球内定常温度分布的狄利克莱问题—拉普拉斯方程的狄利克莱问题.

    选用球坐标

    令u(r, ,)=v(r,)().代入方程，分离变量得

"()+k2()=0                                          (1)

                        (2)

利用对于变量的周期性，u(r, , )=u(r,, +2)，可知方程(1)中的k只能取m(m=0,1)，那末()取{cosm,sinm}.再将方程(2)分离变量，令v=R(r)H()，得

                                                 (3)

                          (4)

方程(4)的解可用勒让德多项式表示，为了使解有界，λ只能取

λ_n²=n(n+1)       (n=0,1,2,…)

对应的解H()=P_n^(m)(cos)，，P_n(x)为勒让德多项式

方程(3)可写成

这是欧拉方程，其有界解为R(r)=c₁rⁿ.最后将u的特解迭加，利用边界条件和球函数的正交性得

式中P_n^(m)(cos)为一般勒让德函数.

    如果二次连续可微，则表示的级数一致收敛，它就是狄利克莱问题的解.

    [高阶方程]  梁的横向振动方程为

（a为常数）                             (1)

定解条件为

    设y(x,t)=X(x)T(t)，那末

方程(2)满足X"(0)=X"(l)=0的特征值，特征函数 (n=1,2)，方程(3)的解为

所以方程(1)的形式解为

由y(x,0)=x(l－x)得

最后得到方程(1)的解.