单词 | 卡尔曼滤波 |
释义 | 三、卡尔曼滤波 [线性离散系统的卡尔曼滤波] 动态模型 设一n维线性动态系统与p维线性观测系统分别由下面的差分方程描述:
或引入相应的符号简单地记作 (1) (2) 其中(k为整数)满足
x(t)是n维状态矢量,(t)是m维动态噪声矢量,z(t)是p维()观测矢量,v(t)是p维()观测噪声矢量;矩阵,称为动态噪声矩阵,H(t)是矩阵,称为观测矩阵,是非奇异矩阵,称为系统的转移矩阵,具有下列性质∶ (i) (对于一切t,其中I为单位矩阵) (ii) (对于任意的) (iii) 线性最小方差估计 如果从动态模型确定在时刻系统的状态的估值时,满足下述条件: (i) 估值是观测值的线性函数; (ii) =最小值,其中是估计误差;那末这个估值称为线性最小方差估计。 设通过p维线性观测系统(2),从第1时刻到第k时刻,对n维线性动态系统(1)的状态作了k次观测,根据这k个观测数据,对第j时刻的状态进行的估计为 ,估计误差为,把估计的均方误差记作。当时,称为预报或外推,当时,称为内插。特别当j=k时称为滤波,并简记。 卡尔曼滤波公式 设在上述动态模型中,动态噪声与观测噪声是互不相关的零均值白噪声序列;即对所有k,j 均值 ,均方差 ,
又设初始状态的统计特征为
且与都不相关,即
那末的最优线性滤波可由下式递推计算
其初值;又其中
称为加权矩阵或增益矩阵,为最优估值误差的协方差矩阵,括号中的I表示单位矩阵,最后一个方程称为协方差更新方程。 这时最优线性预报(外推)估值为 (j>k) [连续时间系统的卡尔曼滤波] 动态模型设状态方程是 (1) 观测方程是
式中是n维矢量型的随机过程,是p维矢量型的随机过程。,分别是m维()和p维矢量型的、均值为零的互不相关的白噪声过程,即
式中Q(t),R(t)都是对时间t连续可微的、对称和非负定矩阵;是狄拉克函数。又F(t),G(t)与H(t)分别是矩阵,其元素为t的非随机函数或常数。 线性最小方差估计 设已知(由观测得到)的值(),求由公式
所表示的的线性估值,使得 =最小值 这样的估值称为线性最小方差估计,其中滤波因子矩阵,它的每个元素对两个自变量都是连续可微的。 卡尔曼滤波方程 假设上述动态模型满足下列条件: (i) 矩阵R(t)对于一切t是正定的; (ii) 在u(t)的作用下,动态系统(1)达到稳定状态,即x(t)是由
确定的随机函数; (iii) 在某个确定的时刻,被测量和在时刻的方差是 已知的; 那末动态模型的最优滤波方程是
式中 (加权矩阵方程) (2) (黎卡提方程(见第十三章§1)) 初始条件为
上式中称为加权矩阵,为最优估值误差的协方差矩阵。 特别,当为矢量型的平稳随机过程时,可在(2)中令,解出。 |
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