八、矩阵多项式与最小多项式

       [矩阵多项式] 设(i=1,2,...,n)为某一数域（实数域或复数域）中的数，A为这个数域上的n阶方阵，则表示式

f(A)=a₀I+a₁A+...+a_nAⁿ

称为矩阵A的多项式，式中I为n阶单位矩阵.

       如果矩阵A使得

f(A)=O

那末称A为多项式

的根.

       [哈密顿-凯莱定理] 任一方阵都是它的特征多项式的根.

       [最小多项式及其性质] 以矩阵A为根的非零多项式f(l)中，存在首项系数为1次数最低的多项式j(l)，它就称为矩阵A的最小多项式.

       最小多项式具有性质：

       1° 任一方阵仅有一个最小多项式；

       2° 任一以A为根的多项式f(l)都可被A的最小多项式j(l)所整除.特别，任一方阵的最小多项式可整除其特征多项式；

       3° 方阵A的特征多项式的根都是A的最小多项式的根：

       4° 相似矩阵具有相同的特征多项式和最小多项式.