释义 |
二、可积类型及其通解 (表中c为任意常数) 方 程 类 型 | 解法要点与通解表达式 | 1.变量可分离方程 f1(x)g1(y)dx+ f2(x)g2(y)dy=0 | 分离变量,两边同除以g1(y)f2(x),再分别积分. | 2. 齐次方程 一般假设 则变量可分离,属类型1 | 令 代入原方程,得新未知函数u关于自变量x的方程: xdu = [F(u) – u]dx 再按类型1求解. | 3.线性方程 当q(x) ≡ 0, 称为齐次线性方程,当, 称为非齐次线性方程 | 先求出所对应的齐次线性方程 的通解 再利用常数变易法(本章§3,二,2),令 算出, 代入原来的非齐次线性方程,可得 | 4.伯努利方程 | 利用变量替换化原方程为关于新未知函数的线性方程,再按类型3求解. | 5.全(恰当)微分方程 M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 式中M,N满足 | 方程可写成 M(x,y)dx+N(x,y)dy=dU(x,y)=0 式中dU是全(恰当)微分. | 6.可将y解出的方程 y=F(x,p) 式中 | 把方程两边对x求导数,得 或 如果能求出此方程的通解或, 那末原方程可解. | [拉格朗日方程] y = xf1(p) + f2(p) 式中是已知可微函数 [克莱罗方程] y = xp+F(p) 式中是已知可微函数 | 可化为x的线性方程 再按类型3求解 化为方程 令, 即p =c,代入原方程. (见§2,三) | 7.可将x解出的方程 x = F(y, p) 式中 | 方程两边对x求导数,利用 如果可求出这个方程的通解 那末原方程可解. | 8.不显含未知函数的方程 | 引入适当参数t,化原方程为 | 9.不显含自变量的方程 | 引入参数t,化原方程为 | 10.能化为变量可分离或齐次方程的方程 | (a)令z = ax + by + c,化原方程为类型1 (b)若行列式 引进新变量 式中α,β满足方程组 则原方程化成齐次方程(类型2): 若=0, b1≠0, 则令z = a1x + b1 y + c1 ; 若=0, b2≠0, 则令z = a2x + b2 y + c2, 于是原方程化为类型1. | 11.黎卡提方程 | 如果已知原方程有一个特解y=y1(x), 作变换 可把原方程化为线性方程(类型3): 或用变换y = y1(x) + u 化为伯努利方程(类型4): 再分别按类型3和类型4求解. | 12. 含积分因子的方程 M (x, y) dx + N(x, y) dy = 0 式中 但存在μ(x, y)满足 μ(x, y)称为原方程的积分因子 | 找出积分因子μ(x, y),再按类型5求解.找积分因子的方法见下表. | 找积分因子的方法 条 件 | 积分因子 μ(x, y) | 条 件 | 积分因子 μ(x, y) | xM+yN=0 xM+yN≠0 M,N是同次的齐次式 M(x, y) = yM1 (xy) N(x, y) = xN1(xy) | | 存在适合 的常数m和n(用比较系数法确定) 即M+iN在使微分方程满足的单连通区域内是x+iy的解析函数 | 形为 m(x)n(y) xmyn | |