二.不动边界的泛函的极值·欧拉方程

欧拉方程是泛函极值的必要条件，但不是充分的.在处理实际泛函极值问题时，一般不去考虑充分条件，而是从实际问题的性质出发，间接地判断泛函极值的存在性，直接利用欧拉方程来求出极值曲线.

 假设F是二阶可微分的，函数y(x)是属于C₂类的函数，并满足边界条件

y(x₀)=y₀,  y(x₁)=y₁

极值曲线y(x)必须满足下面的微分方程（欧拉方程）

或

这是二阶微分方程，它的通解含有两个任意常数，由两个边界条件来确定.因此是一个两点边值问题.

1°  欧拉方程的可积类型

2°  极坐标系中的欧拉方程

     设函数

满足2n个边界条件：

欧拉方程为

假定其中出现的函数y_i都是连续的，函数属于C₂类，这个二阶微分方程组在空间中确定一族含有2n个参数的积分曲线，2n个参数应当由上面的2n个边界条件确定.

  假定F是n+2阶可微分的，函数y(x)属于C_2n类，边界条件为

欧拉方程为

这个方程的通解含有2n个任意常数，这些常数一般可以由上面的2n个边界条件确定.

[多重积分的极值]

1°  型的泛函

假定函数F是三阶可微的，函数是二阶可微的，函数在区域D的边界C上的值是给定的，欧拉方程为

式中.这是一个二阶偏微分方程.

2°  型的泛函

欧拉方程为

式中

3°  型的泛函

欧拉方程为

式中   

[用参数表示的泛函的极值]  考虑形如

的泛函，其中积分号下的函数不明显地含有自变量t，而且是对于及的一次齐次函数，即

那末不管对参数t作任何替换，积分的形式总不改变.对于参数t的任何选择，函数及应满足两个欧拉方程的方程组:

这些方程不明显地含有参数本身.但两个欧拉方程不是独立的，其中一个可由另一个推出.要想找出极值曲线，只要从两个欧拉方程中拿出一个来，把它跟确定参数的那个方程一起求积分.例如，若选择曲线弧长s作为参数，确定参数的方程为.