八、积分的近似计算
1. 内插求积公式
[等距内插求积一般公式（柯斯特公式）]
≈(b－a)
式中
为等距节点：
=a+kh k=0,1,2,…,n
为柯特斯系数（见下表）.
柯特斯系数表
当区间[a,b]愈小，柯特斯公式所给出的结果愈精确.因此，当区间[a,b]较大时，为了避免采用n值较大的柯特斯公式，常把[a,b]N等分，对其中各个等份应用n值较小的柯特斯公式求积，然后再把各个等份的积分值相加，即得到区间[a,b]上的积分值，如下述的梯形公式(n=1)和辛卜生公式(n=2).
[梯形公式]
≈
=a+kh, k=1,2,…,N－1 
若
≤M2,则截断误差为
≤
[辛卜生公式]
≈
=a+k
, 
若
≤
,则截断误差为
≤
[龙贝公式] 设
=
则
一般地，可适当选取m,使之固定，再增大k,使近似截断误差
在允许误差范围内即可，这时
≈
具体计算过程可按下表自左而右，自上而下进行（表中箭头方向表示计算顺序）.
例 用龙贝公式计算积分
误差不超过0.0000001.
解 这里
,a=0,b=1.可按五步进行计算，结果如下：
(1) 
(2) 
(3) 
(4) 
(5) 可以继续算出
3.140941614 
3.141592655
3.141592665 
3.141592643
因为
|
-
|=|3.141592643－3.141592665|<0.0000001
所以
≈3.14159264
而准确值为
在等距内插求积公式中，以辛卜生公式和龙贝公式为好，计算简单 ，便于在电子计算机上实现(都有标准程序)，精确度也相当高.特别龙贝公式是采用区间逐次分半的方法,前一次分割得到的函数值在区间分半后仍可利用，具有计算有规律，不需存储柯特斯系数和节点等优点.
但等距内插求积公式不能计算广义积分.广义积分只能用下面的高斯型求积公式来计算.
[不等距内插求积公式（高斯型求积公式 ）]
高斯型求积公式为
≈
n=1,2,…
式中(a,b)区间可以是有限或无限，w(x)为(a,b)区间内的非负权函数.
－∞≤a≤
<
<…<
<b≤∞
为求积节点（相应的正交多项式的根），
(k=1,2,…,n)为求积系数.f(x)为不超过2n－1次的多项式时，上述求积公式(1)成为等式.
下面列出几种特例.
1°
(－1<θ<1)
式中
为勒让德多项式
(见第十二章，§2，一）的根.
2°
(－1<θ<1)
式中
为第一类契贝谢夫多项式
(见第十二章，§2，二）的根.
它也可表为
3°
(－1<θ<1)
式中
为第二类契贝谢夫多项式
(见第十二章，§2，三）的根.
4°
(－1<θ<1)
5°
