单词 | 序数算术 |
释义 | 五、 五、 序数算术 利用超限归纳法规定序数的算术如下: [加法] α+0=α,α+β=sup{α+γ|γ<β} [乘法] α0=0,α(β+1)=αβ+α,αβ=sup{αγ|γ<β} [方幂] α0=1, αβ+1=αβα, αβ=sup{αγ|γ<β} 注意,以上假设β是极限序数,加法和乘法都是不可交换的.例如 1+ω=sup{1+n|n<ω}=ω<ω+1 2ω=sup{2n|n<ω}=ω 但是ω2=ω(1+1)=ω+ω>ω. [除法] 假定α和β是序数,β>0,那末存在唯一的序数x 和唯一的序数h ,h <β,使 α=βx +h α为极限序数的充分必要条件是:α=ωx ,这里x 由α唯一决定;而α为有限序数的充分必要条件是α=ωx +n,这里x 和正整数n都由α唯一决定. |
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