§6     常微分方程的数值解法

一、      一、    一阶微分方程初值问题的数值解

    要求微分方程

在初始条件

下的数值解，就是要在解存在的区间的一系列点

上从初值y₀出发，逐个求出的近似值 .

    [改进的欧拉方法（预报校正法）]  计算公式为

式中y_n表示y(x_n)的近似值，表示步长.这里截断误差为

    这个方法中，(1)式用折线法提供初值，称为预报公式.(2)式用梯形法给出较精确的值，称为校正公式.合称预报校正公式.

    [龙格-库塔方法]  计算公式为

式中

截断误差为                                      R=O(h⁵)

    手算时按下表自上而下进行.

    [阿达姆斯方法]

    1°  内插公式

这是关于的隐式方程，只要h比较小，可用迭代法求解.

    2°  外推公式

这是关于y_n+1的显式方程，只要知道前几点的值，就可从公式中直接算出y_n+1.

    3°  预报校正公式

截断误差都为

R=O(h⁵)

    阿达姆斯方法可以单独采用外推公式计算，每算一个y_n+1，只要计算一次f(x,y)的值，计算量比龙格-库塔法小，而截断误差同阶，所以计算量小是外推法优点之一.缺点是前几个y_i值不能用此法计算，计算y₁ ,y₂ ,y₃需采用其他方法（一般可用龙格-库塔法）.

    补充说明   1°  阿达姆斯方法中，计算y_n+1的值，要用到所以称为多步法.而改进的欧拉法、龙格-库塔法，只要用到y_n，所以称为一步法.

    2°  一步法中途改变步长方便，多步法中途改变步长麻烦，因要用一步法重新算出开头几项.

    3°  多步法还有一个优点，即可顺便估计出截断误差.

    用y_n+1^(E)和y_n+1^(I)分别表示用外推和内插公式算得的值，有

式中.若计算时规定的允许误差不超过ε，就将ε与

比较，如果，可继续计算，否则说明误差太大，应当缩小步长.若比ε小得多，不妨将步长放大，提高计算速度.