单词 | 一致空间 |
释义 | 二、 二、 一致空间 [复合关系与逆关系] 假设X是一个集,u和是X里的两个关系(即是uX´X,vX´X),规定 u={<x,y>|xX,yX,并且存在zX,使 <x,z>u并且<z,y>} u当然也是X里的一个关系,称为u和的复合关系. 再规定 u-1 ={<x,y>|<y,x>u}, 那末u -1也是X里的一个关系,称为u的逆关系. 容易证明 (u)-1= V -1u -1 [一致空间] 假定X是一个集,U是X里的一个不空的关系族(即U¹φ并且UÍX´X2),并且满足条件: (i) 若uU,则对任何xX,<x,x>u; (ii) 若uU,则存在U,使u; (iii) 若uU,则u∩U; (iv) 若uU,u X´X,则 U; (v) 若uU,则u-1U . 那末称U为X的一个一致性,<X,U>称为一致空间(有时称X是在U这个一致性下的一致空间). 把满足条件(i)—(iv)的U称为X的一个拟一致性,对应的<X,U>称为拟一致空间. 如果U和U'是集X的两个一致性,UU',那末称U比U'粗,U'比U细. 假定集X里有一个不空的关系族V,满足定义所说条件(i)和(ii),那末X的所有掩盖V的一致性的通集U0也是一个一致性,是能掩盖V的最粗的一致性,称为V所繁殖的一致性,V称为U0的一个亚基 对任何一个集X,由{{<x,x>|xX}}所繁殖的一致性是最细的一致性. 尺度空间可以看作一致空间的特例:假定X是一个尺度空间,把X里的关系族{{<x,y>|x和y的距离小于γ}|γ是一个正数}所繁殖的一致性称为由X的尺度产生的一致性.通常除特别声明外,一个尺度空间X总是看作在这个一致性下的一致空间.实际上,上面“γ是一个正数”的条件可以改作“γ是一个正有理数”(由于一致性的条件(iv)),所以由尺度产生的一致性一定有可数的基. [一致拓扑与一致空间的尺度化] 假定<X,U>是一个一致空间.对xX,uU,把{y|<x,y>u}记作u[x],称为x的一个邻域.由所有这种邻域所繁殖的拓扑称为X的一致拓扑.以后如果不另外声明,一个一致空间X总是看作在一致拓扑下的拓扑空间. 如果在一个一致空间里可以规定一个尺度,由这尺度产生的一致性跟原来的一致性相同,那末称这一致空间是可以尺度化. 一个一致空间可以尺度化的充分必要条件是:它的一致性有可数的基,并且它是T2空间.一个一致空间可以拟尺度化的充分必要条件是:它的一致性有可数的基. [一致连续与一致同构变换] 假定<X,U>和<Y,V>是两个一致空间,f是一个把X变进Y的变换,如果对任何V,总存在uU,使对所有的<x,y>u,<f(x),f(y)>成立,那末称f为一致连续.一致连续必定连续,但是在一致拓扑下连续不一定一致连续. 一个变上的可逆一致连续变换称为一致同构变换.一致同构变换一定是同胚变换,但是反过来说不一定对. [一致收敛] 假定<Y,V>是一个一致空间,X是一个集,又假定<fp|pQ>是XY里的一个点网,f XY ,如果对任何V,存在一个qQ使对所有的p>q和所有的xX, <fp(x),f(x)>V 成立,那末称<fp|pQ>一致收敛于f. 假定<Y,V>是一致空间,X是一个集,那末还可以对XY 规定一个一致收敛的一致性如下:对任何V,可以得到XY 里的一个关系w w ={<f,g>|对所有的x XX,<f(x),g(x)>成立}. 所有这些w的全体所繁殖的一致性称为XY 的一致收敛的一致性.由这一致性所产生的拓扑称为XY 的一致收敛拓扑.可以看到,XY 里的一个点网一致收敛就是在一致收敛拓扑下收敛的意思. |
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