§8 重要平面曲线表
[三次曲线]
| 方 程 与 图 形 | 特 征 |
| (a >0 , b<0 ,Δ>0) (a >0 , b<0 ,Δ=0) (a) (b) 这些曲线都是关于直线 | 曲线由两支组成 渐近线y = a与x = 0 曲线与y = a的交点 曲线与x轴的交点 极值点 拐 点 ( a ) 不连续点 极 大 点 渐 近 线 （b） 不连续点 渐 近 线 （c） 极 大 点 拐 点 在这两点的斜率分别为 渐 近 线 y = 0 |
| 方 程 与 图 形 | 特 征 |
| [注] a, b为方程 | （a） 不连续点 x = a，x = b 渐 近 线 y = 0和x = a，x = b （b） 不连续点 x = a，x = b 极 大 点 极 小 点 拐 点 C 渐 近 线 y = 0和x = a，x = b ( c ) 不连续点 x = a，x = b 极 大 点 极 小 点 拐 点 C 渐 近 线 y = 0和x = a，x = b （d） 不连续点 极 大 点 拐 点 C 渐 近 线 y = 0和 （e） 不连续点 极 小 点 拐 点 C 渐 近 线 y = 0和 （f） 极 大 点 极 小 点 拐 点 C, D, E三点 渐 近 线 y = 0 |
上述三次曲线的图形，只列出a>0的情况，对于a<0时，除曲线
（当a>0时渐近线在x轴上方，当a<0时，渐近线在x轴下方）外，一般作适当变化后，与a>0时的曲线都是关于x轴对称的.例如a<0时，两条曲线：
与
是关于x轴对称的，而后者x2系数
.
[抛物型曲线]
| 方 程 与 图 形 | 特 征 |
|
| (a) (a) y由 极值点 奇数个（1～n-1） 拐 点 偶数个（0～n-2） (b) (b) y由 极值点 偶数个（0～n-1） 拐 点 奇数个（1～n-2） 曲线与x轴的交点A1, A2,A3(或一个交点A1)为方程 极值点 拐 点 的对称中心，该点的切线斜率为 |
| 方 程 与 图 形 | 特 征 |
|
(a) (b) | (a) 顶点（同极值点）O(0, 0) 曲线关于y轴对称 (b) 拐点 O(0, 0) 曲线关于原点对称 |
（m, n为两个互素的整数）
|
| n为偶数 m奇数 | n为奇数 m偶数 | n为奇数 m奇数 | 相切情况 |
| m>n m<n 对称情况 |
关于x轴对称 |
关于y轴对称 |
关于原点对称 | 在原点处与x轴相切 在原点处与y轴相切 |
| 方 程 与 图 形 | 特 征 |
| [双曲型曲线]
[半立方抛物线] [箕舌线]
[笛卡儿叶形线] 或 [蔓叶线] 或 或 [环索线] 或 或 [尼哥米德蚌线] 或 或
| (a) n为偶数： 不连续点 O（0, 0） 渐 近 线 y = 0与x = 0 曲线关于y轴对称 (b) n为奇数： 曲线关于原点对称 (a) ，n为偶数，m为奇数： 不连续点 O（0, 0） 渐 近 线 y = 0与x = 0 曲线关于x对称 (b) ，n为奇数，m为偶数： 曲线关于y对称 (c) ，n为奇数，m为奇数： 曲线关于原点对称 尖点 在该点与x轴相切 曲率半径 弧长 极大点 ，在该点的曲率半径为 拐 点 ，在这两点的切线斜率分别为 渐 近 线 曲线与渐近线之间的面积 结 点 ，在该点与x轴和y轴相切，曲率半径为 顶 点 渐近线 圈套所围成的面积 曲线与渐近线之间的面积 曲线是使的点M的轨迹（P是直径为a的母圆与OQ的交点） 尖 点 ，在该点曲线与x轴相切 渐近线 曲线与渐近线之间的面积 曲线是使PM1 = PM2 = OP的点M1 , M2的轨迹（P为y轴上一点，M1,M2在过A, P两点的射线上） 顶 点 A(a, 0) 结 点 O(0, 0) 渐近线 x = -a 圈套所围成的面积
曲线与渐近线之间的面积
曲线是使OM1 = OP + b,OM2 = OP - b的点M1,M2的轨迹(分别称为外支线(右)和内支线(左)) 外支线 顶 点 A(a + b, 0) 拐 点 B, C，它们的横坐标等于方程x3 – 3a2x + 2a(a2 – b2) = 0的最大根 内支线 顶 点 D(a - b, 0) 拐 点（a>b时）E, F，它们的横坐标等于方程x3 – 3a2x + 2a(a2 – b2) = 0的第二个正根 尖 点（a=b时） O(0, 0) 结 点（a<b时） O(0, 0) 内外支线的渐近线x = a |
[帕斯卡蜗线]
或 
或 
（
为圆的直径）
曲线是使OM = OP ± b的点M的轨迹（P点在直径为a的圆周上）
顶 点 Ak,Bk(a ± b, 0)(k=1, 2, 3, 4, 5)，B2与原点重合
结 点（b<a时）O(0, 0)，在该点的切线的斜率为
，该点的曲率半径为
尖 点（b=a时）O(0, 0)
孤立点（b>a时）O(0, 0)
极值点 当b<a时有4个，当b³a时有2个：
当b从0变到¥时，所有极值点构成蔓叶线
拐点（a<b<2a时）
二重切线的切点（b<2a时）：
这些切点在圆r = - acosj上蜗线所围成的面积
（当b<a时，内圆的面积计算了两次）
[注] 当b=a时，即为心脏线.
[卡西尼卵形线]
或
曲线是使MF1×MF2 = a2的点M的轨迹（F1, F2为固定焦点，F1F2 = 2c，a为常数）.
顶 点 
极值点 
或
当a从0变到
时，所有极值点构成一个圆（半径为c）
拐 点 
其中
或
当a从c变到
时，所有拐点构成双纽线
[注]当a=c时，即为双纽线.
| [心脏线] 或 或 [双纽线] 或
[普通旋轮线（摆线）] 或
[长（或短）辐旋轮线（次摆线）]
长轴(λ>1)
短轴(λ<1) [圆外旋轮线（外摆线）]
（a为定圆的半径，b为动圆的半径，t = ÐCOx） | （i） （i） 它是使OM = OP ± a的点M的轨迹（a为圆的直径，P为圆周上的一点） （ii） 它是圆外旋轮线的特例（动圆与定圆的直径相等） 尖 点 O(0, 0) 顶 点 A(2a, 0) 极值点 二重切线的切点 曲线长 L = 8a 面 积 （i） （i） 它是使MF1 × MF2 = a2的点M的轨迹（OF1 = a） （ii） （ii） 它是使OM = PQ的点M的轨迹（P, Q在圆心为F1，半径为的圆周上） 结 点 （同拐点）O(0, 0)，在该点的切线的斜率为± 1 顶 点 极值点 曲率半径 双纽面积 S = 2a2 曲线是一圆周沿x轴滚动而无滑动时，圆周上一点M所描成的轨迹（圆的半径为a） 周 期 T = 2pa 极值点 曲率半径 渐屈线 为一旋轮线（图中虚线） 拱 长 面 积 曲线是一圆周沿x轴滚动而无滑动对，圆外一点M（或圆内一点N）所描成的轨迹（圆的半径为a） 周 期 T = 2pa 结 点 拐 点 极大值点 极小值点 曲率半径 对应于极值点（l<1时）处的曲率半径为 曲线是一圆周沿另一圆周外部滚动而无滑动时，圆周上一点M所描成的轨迹，曲线的形状由的值而定 （i） （i） 当m = 1时，曲线是心脏线 （ii） （ii） 当m为整数时，曲线由m支组成，动点M描完m支后（即动圆绕定圆一周），返回起始位置 （iii） （iii） 当m为分数（ （iv） （iv） 当m为无理数时，有无穷多的分支，动点M不能返回起始位置 尖 点 顶 点 曲线长（一支） 曲率半径 扇形A1B1A2A1的面积（不包括定圆的面积） |
[圆内旋轮线（内摆线）]
（a为定圆半径，b为动圆半径，t = ÐCOx）
曲线是一圆周沿另一圆周的内部滚动而无滑动时，圆周上一点M所描成的轨迹.
圆内旋轮线的尖点、顶点的坐标，弧长，曲率半径及面积公式都与圆外旋轮线一样，只须把“+b”换成“-b”.
总是大于1，特别，当m = 4时，曲线有4只，称为星形线，其方程为
或
全曲线长L = 6a
曲线所围成的面积 
[长（或短）辐圆外旋轮线（外次摆线）]
（a为定圆半径，b为动圆半径）
曲线是一圆周沿另一圆周的外部滚动而无滑动时，圆周外部(或内部)一点M所描成的轨迹.
[长(或短)辐圆内旋轮线（内次摆线）]
（a为定圆半径，b为动圆半径）
长辐
短辐
曲线是一圆周沿另一圆周的内部滚动而无滑动时，圆周外部(或内部)一点M所描成的轨迹.特别，当a=2b时，长短辐圆内旋轮线是一个椭圆；当a=b时，是帕斯卡蜗线.
| 方 程 与 图 形 | 特 征 |
| [阿基米德螺线] | 曲线为一动点以常速 （方程 等距性 过极点的射线与曲线交于A0,A1,A2,L，它们是等间隔( 弧 长 曲率半径 扇形M1OM2的面积 |
| [对数螺线（等角螺线）]
| 曲线与所有过极点的射线的交角都相等(a)(k=cota)，当 等比性 过极点的射线与曲线交于L,A-1,A0,A1,L，则L， 弧长 曲率半径 [注]当 |
[双曲螺线(反螺线)]
渐近点 极点O（当
时）
渐近线 y=a
曲率半径 
扇形M1OM2的面积 
曲线由两支组成，它们关于y轴对称
[连锁螺线]
曲线是当N在x轴上移动时，使圆扇形OMN的面积保持一定
的点M的轨迹
渐近点 极点O（当
时）
渐近线 x轴（当
时）
| 方 程 与 图 形 | 特 征 |
| [圆的渐开线] | 尖点 A(a,,0) 与x轴的交点 B( （式中t0为方程t=tant的根） 弧长 曲率半径 曲率中心C在圆周上 曲线由两支组成，它们关于x轴对称 |
| [回旋曲线] | 拐点 O(0,0) 渐近点 A( B( 弧长 曲线关于原点对称 |
| 方 程 与 图 形 | 特 征 |
| [悬链线] | 顶点 A(0, a) 弧长 曲边梯形OAMP的面积 曲率半径 曲线关于y轴对称，位于抛物线y=a+ [注] 把一条柔软而不能伸长的重绳悬挂于 两点，便得到悬链线的形状 |
| [曳物线] x=aArch 或 x=aln | 尖点 A(0,a)，在该点与y轴相切 弧长 曲率半径 R=acot 曲线关于y轴对称，是悬链线的渐开线，从顶点A开始展开，这一曲线的切线与x轴的交点到切点的距离为一常数. [注] 把长度为a的柔软而不能伸长的绳子的 一端系一质点M，另一端P沿轴x移动， 则点M便描成曳物线形状 |
=aln
[玫瑰线]
| 方 程 与 图 形 | 特 征 |
| [概率曲线] y=a
| 顶点（同极大点） A(0, a) 拐点 B,C 该点切线的斜率为 曲线与x轴间的面积 曲线关于y轴对称 |
| [标准正态分布曲线（高斯曲线）] y=
| 顶点 A(0, 拐点 B,C( 曲线与x轴间的面积为1 曲线关于y轴对称 |
| [一般正态分布曲线] y= [阻尼振动曲线] y=A
| 顶点（同极大点） A(m, 拐点 B,C(m 曲线与x轴间的面积为1 曲线关于直线x=m对称 与x轴的交点 Bk 与y轴的交点C(0,Asin 极值点 Ak的横坐标为 拐点 Dk的横坐标为 曲线与两条指数曲线 y= Pk |
