三、方阵标准化的方法与步骤

[λ矩阵]  假定一个n阶方阵A的元素都是变数λ的复系数多项式
                    
则称为λ矩阵. 一个λ矩阵的不恒等于零的子式的最高阶数r称为的秩.

    [不变因子与初等因子]  设r为的秩，k是正整数，为的一切k阶子式的最高公因式，则是一个的多项式，规定的最高次项系数是1；此外规定

称

为的不变因子.

把每个分解为一次因子，得到

式中指数有的可能是零，当时，称为的一个初等因子.

    [初等变换·矩阵的等价]  对λ矩阵的下列三种变换的有限次组合称为的初等变换.

（i）任何两行（列）互换；

（ii）把任何一行（列）的各元素乘上同一个λ的多项式后加到另一行（列）的相应的元素上；

（iii）把任何一行（列）的元素乘上同一个不等于零的复数.

应当指出，适当地施行（ii），（iii）两种变换可以得到（i）.

若可由经过有限次初等变换得到，则称与等价，记作.

λ矩阵经过初等变换后，其不变因子和初等因子都不变.

[λ矩阵的标准形]  设λ矩阵的秩为r，不变因子为，则

称右边的方阵为的标准形. 它是由唯一确定的.

等价的λ矩阵具有相同的标准形.

[特征矩阵]  方阵A的特征矩阵是一个特殊的λ矩阵. 所以

1^o若的初等因子为

其中各未必两两不同，则

且有

    2^o如果n阶λ矩阵

其中，则

式中J为A的若当标准形.

3^o若A的特征矩阵的初等因子为

则                             

J为A的若当标准形.

    [方阵标准化的步骤] 把方阵A化为A的若当标准形的步骤如下：

    (1)  利用初等变换把化为对角矩阵，分解对角线上的多项式，就得到的全部初等因子.

(2)  相应于每个初等因子，作出一个m阶的若当块

    (3)  把全部若当块合并起来就得到A的若当标准形.

    例1  求方阵         

的若当标准形.

    解

容易求出它的不变因子为1，1，，所以初等因子是，因此得到A的若当标准形

    例2  求方阵

的若当标准形.

解   

经过初等变换可以把它化为如下形式的对角线矩阵

所以初等因子为，，相应的若当块为

所以A的若当标准形为