单词 | 方阵的标准化的方法与步骤 |
释义 | 三、方阵标准化的方法与步骤 [λ矩阵] 假定一个n阶方阵A的元素都是变数λ的复系数多项式 [不变因子与初等因子] 设r为的秩,k是正整数,为的一切k阶子式的最高公因式,则是一个的多项式,规定的最高次项系数是1;此外规定 称 为的不变因子. 把每个分解为一次因子,得到 式中指数有的可能是零,当时,称为的一个初等因子. [初等变换·矩阵的等价] 对λ矩阵的下列三种变换的有限次组合称为的初等变换. (i)任何两行(列)互换; (ii)把任何一行(列)的各元素乘上同一个λ的多项式后加到另一行(列)的相应的元素上; (iii)把任何一行(列)的元素乘上同一个不等于零的复数. 应当指出,适当地施行(ii),(iii)两种变换可以得到(i). 若可由经过有限次初等变换得到,则称与等价,记作. λ矩阵经过初等变换后,其不变因子和初等因子都不变. [λ矩阵的标准形] 设λ矩阵的秩为r,不变因子为,则 称右边的方阵为的标准形. 它是由唯一确定的. 等价的λ矩阵具有相同的标准形. [特征矩阵] 方阵A的特征矩阵是一个特殊的λ矩阵. 所以 1o若的初等因子为 其中各未必两两不同,则 且有 2o如果n阶λ矩阵 其中,则 式中J为A的若当标准形. 3o若A的特征矩阵的初等因子为 则 J为A的若当标准形. [方阵标准化的步骤] 把方阵A化为A的若当标准形的步骤如下: (1) 利用初等变换把化为对角矩阵,分解对角线上的多项式,就得到的全部初等因子. (2) 相应于每个初等因子,作出一个m阶的若当块 (3) 把全部若当块合并起来就得到A的若当标准形. 例1 求方阵 的若当标准形. 解 容易求出它的不变因子为1,1,,所以初等因子是,因此得到A的若当标准形 例2 求方阵 的若当标准形. 解 经过初等变换可以把它化为如下形式的对角线矩阵 所以初等因子为,,相应的若当块为 所以A的若当标准形为 |
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