第三章 代 数 方 程

代数方程的理论有下列几个主要问题：

(1) 根式解问题；

(2) 根的分布及近似计算；

(3) 根的存在问题；

(4) 根的性质的研究.

本章着重介绍（1）和（2）两个问题，对于（3）和（4）两个问题仅作简略的叙述.

根式解问题就是如何把方程的根用公式表达出来，这里具体列出了实数域上二、三、四次方程根的表达式，并且指出根与系数之间的相互关系，还叙述了阿贝耳定理，即五次以及更高次的代数方程没有一般的根式解.本章介绍了代数方程的性质，其中提到关于根的存在问题的重要的“代数基本定理”；并且叙述了伽罗瓦所指出的，存在用代数方法不能解的具体方程；也介绍了代数方程的某些特殊解法与对称多项式的基本定理；给出了根的隔离的各种判别法.最后介绍了方程实根的近似计算的多种方法，并对秦九韶法作了详细说明.

§1 二、三、四次方程的根的表达式

1. 基本概念

[数域] 如果一个数系满足下列两个条件，则称这个数系为一个数域：

(i) 系中有不等于零的数；

(ii) 对系内任意两个数（这两个数也可相同）的和、差、积、商（零不能作除数）仍为系内的数，这就是说，系内的数对于四则运算是封闭的.

       例如，有理数系、实数系、复数系都是数域.

       [多项式的根] 形如

f(x)=a₀xⁿ+a₁x^n-1+a₂x^n-2+...+a_n-1x+a_n=0

的方程称为在一个数域S上的一个未知数的n次代数方程，f(x)称为一元n次多项式，式中n为正整数，a₀,a₁,a₂,... ，a_n-1,a_n是属于数域S的常数，称为方程的系数，最高次项系数a₀简称为首项系数.

       设c是一个常数,使f(c)=0,则称c为多项式f(x)或方程f(x)=0的根.本节先考虑在实数域上的二、三、四次方程.