§ 3 拓扑空间

一、  一、        基本概念

    [拓扑与拓扑空间]  假定D是一个集，τ（就是τ的每个元素都是D的子集），且满足条件：

          (i) φτ，Dτ；

      (ii) 任何一族属于τ的集的和集属于τ；

      (iii) 任何有限个属于τ的集的通集属于τ，

那末称τ为D的一个拓扑，称<D,τ>这个有序对（见§1，二）为一个拓扑空间.

假定X=<D,τ>是一个拓扑空间，那末D的每个元素都称为X里的点，D的每个子集都称为X里的点集，特别，D称为X的承载点集.τ的每个元素（是D的特殊子集）都称为X里的开集，τ称为X的拓扑.

在不至于引起误解的情况下，也往往把一个拓扑空间跟它的承载点集混为一谈.

    [凝固拓扑与分散拓扑]  注意，任何一个集D的拓扑总是存在的.比如{φ，D}就是D的一个拓扑，称为D的凝固拓扑，<D，{φ，D}>称为一个凝固空间，在这个凝固空间里，开集只有φ和D.还有也是D的一个拓扑，称为D的分散拓扑，<D, >称为分散空间，在这个分散空间里，任何点集都是开集.

    [诱导拓扑与拓扑子空间]  假定X是一个拓扑空间，A是X里的一个点集.把X里的任何一个开集跟A的通集称为A的一个相对开集，那末A的所有相对开集全体τ'是A的一个拓扑，称为A的诱导拓扑，<A,τ'>称为X的一个拓扑子空间.

   注意，凡是说拓扑子空间，它的拓扑一定是指诱导拓扑.

    [拓扑的粗细]  假定τ₁和τ₂都是集D的拓扑，τ₁Ìτ₂，那末说τ₁比τ₂粗，或者说τ₂比τ₁细.

   一个集D的每个拓扑都是的一个子集，因此是的一个元素，应用划分公理，一个集D的所有拓扑的全体是一个集，称为D的拓扑族，而粗细关系是这个拓扑族里的一个小大关系，不过还不是次序，因为D的不同的拓扑不一定可以比粗细.因此，D的拓扑族按照这个粗细关系是一个分行集.不过，当D的元素不止一个时，D一定有最粗的拓扑，那就是凝固拓扑，也一定有最细的拓扑，那就是分散拓扑.

[拓扑亚基与拓扑的确定]  虽然一个集D的任何一族子集的全体只要满足上面定义的条

件（i），（ii），（iii）就可以取做拓扑，但是要验证这些条件是否满足往往不很方便.通常要利用拓扑亚基的概念来确定一个拓扑.

   假定s 是集D的一族子集（就是s ），把D的所有掩盖s 的拓扑τ（就是τÊs）的通集记作τ₀，那末不难看到，τ₀是一个拓扑，并且是掩盖s 的最粗的拓扑.τ₀称为s 所繁殖的拓扑，而s称为τ₀的一个亚基.

   任何一个拓扑τ都是它自己所繁殖的拓扑，因此都是自己的一个亚基.

   由这定义知道，集D的任何一族子集可以繁殖出一个唯一的拓扑来.

   例1 （一维实数空间R¹）把实数全体记作R¹.由所有区间（a，b）（当a³b，（a，b）表示空集）的全体所繁殖的拓扑τ¹称为R¹的普通拓扑.以后如果没有另外说明，就把R¹当作具备这个普通拓扑的拓扑空间，称为一维实数空间.

    R¹当作集看还有别的拓扑，除凝固拓扑、分散拓扑外，比如由所有的半闭区间（a，b]（就是{x| }，当a³b时，（a，b]表示空集）全体也繁殖出一个拓扑来.但是这些都不是普通拓扑，如果要采用这些拓扑，要另外声明.

    [拓扑基]  假定s 是一个拓扑空间X里的一族开集的全体.如果X里任何一个开集都是一族属于s 的开集的和集，那末称s为X的拓扑的一个基.显然X的拓扑自己就是自己的一个基.

   由这定义知道，如果s 是拓扑空间X的拓扑的一个基，那末一定是X的拓扑的一个亚基.

   定理  一个集D的一族子集的全体s 是它所繁殖的拓扑的一个基的充分必要条件是：对任何As，任何Bs 和任何xA∩B，存在Cs,使xCA∩B.

   因此可以看到，所有实数区间（a，b）的全体是R¹的普通拓扑的一个基，因为属于任何两个区间的通集的任何一个实数x，一定属于这个通集的一个子区间，因此还知道R¹里的任何一个开集都是区间的和集.

    [开邻域、邻域与基本邻域]  假定一个拓扑空间里的一点x属于一个开集，那末称这开集为x的一个开邻域.假定一个点集掩盖x的一个点邻域，那末称这点集为x的一个邻域.假设x的一个开邻域属于这空间的拓扑的基，那末称这开邻域为x的一个基本邻域.

   一个拓扑空间里的一个点集S是开集的充分必要条件：属于S的每一点都至少有一个基本邻域被S所掩盖.

   开集也可用基本邻域的概念来定义.这是通常利用拓扑基来确定拓扑的另一个办法.例如这样规定：假定S是一个实数集.如果对任何xS，存在一个区间（a，b）使x（a，b）S，那末称S为一个开集.所有这种开集全体正好就是R¹的普通拓扑.

    [拓扑乘积空间]  假定{X_h|hH}是一个拓扑空间族，X_h=< D_h τ_h>,那末是τ_h 的任何一个元素，h是H的任何一个元素}是的一个子集族，由这个子集族繁殖出的一个拓扑τ，称为这族τ_h的乘积拓扑.把<,τ>称为这族拓扑空间X_h 的拓扑乘积空间.

   注意，{|A_h是τ_h的任何一个元素}这个集族所繁殖的拓扑一般比乘积拓扑细.只有对有限个拓扑空间的乘积，才跟乘积拓扑一致.

   在不至于引起误解的情况，这个拓扑乘积空间往往就记作它的承载点集，因为说到拓扑乘积空间，意思就是它的拓扑是乘积拓扑.

    [n维实数空间与n维区间]  把所有实数全体记作R¹.由例1可知R¹是一维实数空间.当n是一个正整数时，n个R¹的拓扑乘积空间,记作Rⁿ，称为n维实数空间.

   如果把n个区间的直接积称为n维区间（如果其中某个（a_i，b_i）=φ的话，这个直接积也当作φ理解），那末由拓扑乘积空间的定义知道，Rⁿ的拓扑就是所有n维区间的全体繁殖出来的拓扑，而且所有n维区间的全体是这个拓扑的一个基.换句话说，Rⁿ里的任何一个开集都是n维区间的和集.

*实数的进位制见第一章，§1，一.