单词 | 极限圆(或极限环) | |
释义 | 三、 极限圈(或极限环) 这里只讨论n=2的情形. [周期解] 方程 以T为周期的周期解是满足x(t+T)=x(t),y(t+T)=y(t)的解.周期解所对应的轨道是闭曲线.反过来,闭轨道对应于周期解. [极限圈] 孤立的周期解称为方程的极限圈.完整地说,就是:设 x=x(t),y=y(t)是方程的周期解,K是这个解在相平面上描出的闭曲线.如果存在正数ρ,使得对于相平面上任一与K距离小于ρ的点ζ,方程过点ζ的解就不是周期的,那末称x=x(t),y=y(t)(即闭轨道K)为孤立的周期解,或极限圈. 例 作坐标变换:x=rcos 通解为
其中k,t0是任意的.取t0=0,则方程组的解为 当k=0时, 是圆周x2+y2=1;当k=c2 (c>0)时是一螺线,当t-时,趋于原点,而当t时,从内部盘旋逼近圆周x2+y2=1;当k= 轨道分布如图13.5. 这时圆周x2+y2=1就是方程组的唯一极限圈.(0,0)是唯一的奇点. [极限圈存在性定理] 对于方程组 1° 设在xy平面上有两个简单闭曲线C1及C2, C2在C1的内部,满足下面两个条件: (i) C1上的点的矢量场由C1的外部指向内部,C2上的点的矢量场由C2的内部指向外部; (ii) C1及C2所围成的环形区域中方程组没有奇点; 那末在 C1及C2所围成的环形区域中,一定存在稳定的极限圈(称为庞卡莱-班狄克生定理). 2° 如果在某单连通区域G内, |
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