二、变分方法
1. 自共轭边值问题
将§3定义的共轭微分算子的概念推广到一般方程.
设D是
中的有界区域，S为其边界，在
上考虑2k阶线性微分方程
的齐次边值问题
式中f(x)是D内的已知函数，lju是线性微分算子.
将 
分部积分k次得
式中(u,v)是一个D上的积分，其被积函数包含u,v的k阶导数；Rj和
是定义在边界S上的两个线性微分算子.再将(u,v)分部积分k次得
式中L*是一个2k阶的微分算子，称为L的共轭微分算子.若L=L*，则称L为自共轭微分算子.从上面可推出格林公式
如从lju|S=ljv|S=0可推出在边界S上
则称lju|S=0为自共轭边界条件.如果微分算子及边界条件都是自共轭的，则称相应的边值问题为自共轭边值问题，此时有
每个边值问题对应于某希尔伯特空间H（例如L2(D)，见第九章§7）中的一个算子A，其定义域MA 是H中一线性稠密集合，它由足够次连续可微且满足边界条件的函数组成，在MA上，Au的数值与Lu的数值相同，从而求解边值问题化为解算子方程
的问题.
设A为定义在实的希尔伯特空间H中的某线性稠密集合MA上的线性算子.若对于MA的任意非零元素
成立
(Au,v)=(u,Av)
则称A为对称算子.若对任意非零元素u成立
则称A为正算子.如成立更强的不等式
(Au,u)≥r||u||2 (r>0)
则称A为正定算子.此处(u,v)表示希尔伯特空间的内积，||u||2=(u,u).