三、n维空间

    [n维空间的定义]  如果空间中的点与n个独立实数x¹，···，xⁿ的有序组的值建立一对一且双方连续的对应，那末，以这样的点作为元素的集合称为n维实数空间*(简称n维空间)，记作Rⁿ.所以空间中一点M对应于一组有序数x^１，···，xⁿ；反之，一组有序数x^１，···，xⁿ对应于一点M.这样的一组有序数(x^１，···，xⁿ)称为n维空间Rⁿ中一点M的坐标.

    [n维空间中的矢量]  在n维空间Rⁿ中取一定点O，坐标为(0,0,···,0)，另外一点M(x¹，x²，···，xⁿ)，r为对应于两点O和M的矢量，称为点M的矢径.

    假定在Rⁿ中可以引进仿射坐标系，使得矢径r与点M(xⁱ)的坐标的关系是

r＝x¹e₁＋···＋xⁿe_n＝xⁱe_i

式中e₁，···，e_n是Rⁿ中n个线性无关的矢量，这种坐标系e_1,···,e_n称为Rⁿ中的仿射坐标系，x¹，···，xⁿ称为Rⁿ中矢量r的仿射坐标.

    在三维空间中所讨论的许多结果，在n维空间中都成立，只要把公式中所出现的指标认为从1到n就行了.

    [逆变矢量与协变矢量]  在n维空间Rⁿ中考虑一个任意坐标变换

**                        (1)

其中函数关于xⁱ有连续的各阶导数(讨论中所需要的阶数)，变换的雅可比式不等于零：

因而(1)有逆变换

    设a¹,···,aⁿ为xⁱ的函数，如果在坐标变换下，它们都按坐标微分一样地变换，即

则称aⁱ为坐标系(xⁱ)中一个矢量的逆变坐标，为坐标系中同一个矢量的逆变坐标.称矢量为逆变矢量.

    如果a_i按

的形式变换，则称aⁱ为坐标系(xⁱ)中一个矢量的协变坐标，称 为坐标系中同一矢量的协变坐标，称矢量为协变矢量.

    逆变矢量和协变矢量的变换系数是不同的，但是它们之间有关系式

式中为克罗内克尔符号.

    例  标量场的梯度是一个协变矢量.

    设n维空间的标量场为,它沿一无限小位移dxⁱ上的变更

是一个在坐标变换下的不变量，式中是的梯度的分量.因此在坐标变换下，

则

所以是一个协变矢量.