十、椭圆积分

[椭圆积分] 形为

是的有理函数,是的三次或四次多项式)的积分,称为椭圆积分,它可化为一些能用初等函数表示的积分.

[勒让德椭圆积分]

这三个积分分别称为勒让德第一类、第二类、第三类椭圆积分.数称为这些积分的模数,数称为补模数,数称为第三类积分的参数.

[外尔斯特拉斯椭圆积分]

这三个积分分别称为外尔斯特拉斯第一类、第二类、第三类椭圆积分.

[完全椭圆积分]

这三个积分分别称为第一类、第二类、第三类完全椭圆积分.又定义

[椭圆积分的级数表达式]

        +

式中 为超几何级数.

[椭圆积分有关公式]

                   为整数)

                     为整数)

                      (勒让德关系式)

[椭圆积分替换公式表]

[完全椭圆积分替换公式表]

[可化为椭圆积分的积分]

                       (设)

                             (设)

                             (设)

           (设)

                        (设）

           （设）

                  (设)

    （设）

    （设）

                              （设）

          （设）

         （设）

                （设）

      （设）