单词 | 椭圆型方程的差分方法 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
释义 | 2. 椭圆型方程的差分方法 [五点格式] 考虑拉普拉斯方程的第一边值问题 式中为定义在D的边界S上的已知函数. 采用正方形网格,记,在节点(i, j)上分别用差商 代替,对应的差分方程为 (1) 或 即任一节点(i,j)上的值等于周围相邻节点上解的值的算术平均,这种形式的差分方程称为五点格式,在边界节点上取 (2) 式中是与节点(i, j)最接近的S上的点.于是得到了以所有内节点上的值为未知量的若干个线性代数方程,由于每一个节点都可列出一个方程,所以未知量的个数与方程的个数都等于节点的总数,于是,可用通常的方法(如高斯消去法)解此线性代数方程组,但当步长不很大时,用高斯消去法将会遇到很大困难,可用下面介绍的其他方法求解. 若h0时,差分方程的解收敛于微分方程的解,则称差分方程为收敛的. 在计算过程中,由于进行四则运算引起舍入误差,每一步计算的舍入误差都会影响以后的计算结果,如果这种影响所产生的计算偏差可以控制,而不至于随着计算次数的增加而无限增大,则称差分方程是稳定的. [迭代法解差分方程] 在五点格式的差分方程中,任意取一组初值{},只要求它们在边界节点(i, j)上取以已知值,然后用逐次逼近法(也称迭代法)解五点格式: 逐次求出{}.当(i+1, j),(i-1, j),(i, j-1),(i, j+1)中有一点是边界节点时,每次迭代时,都要在这一点上取最接近的边界点的值.当n→∞时,收敛于差分方程的解,因此n充分大时,{}可作差分方程的近似解,迭代次数越多,近似解越接近差分方程的解. [用调节余数法求节点上解的近似值] 以差商代替Δu时,用节点(i+1, j),(i-1, j),(i, j+1),(i, j-1)上u的近似值来表示u在节点(i, j)的值将产生的误差,称此误差为余数,即
设在(i, j)上给以改变量,从上式可见将减少4,而其余含有的差分方程中的余数将增加,多次调整的值就可将余数调整到许可的有效数字的范围内,这样可获得各节点上u(x, y)的近似值.这种方法比较简单,特别在对称区域中计算更简捷. 例 求Δu=0在内节点A,B,C,D上解的近似值.设在边界节点1,2,3,4上分别取值为1,2,3,4(图14.8) 解 记u(A)=,点A,B,C,D的余数分别为 -4+ uB+ uc +5= -4 uB +uD+7=RB -4 uc+ uD+3=RC uB+ uc-4uD+5=RD 以边界节点的边值的算术平均值作为初次近似值,即 =uB(0)=uC(0)=uD(0)=2.5 则相应的余数为: =0, RB=2, RC= -2, RD=0 最大余数为±2.先用δuC=-0.5把RC缩减为零,uC相应地变为2,这时,RD也同时缩减(-0.5),新余数是=-0.5,RB=2,, RD=-0.5.类似地再变更δuB=0.5,从而 uB变为3,则得新余数为.这样便可消去各节点的余数,于是u在各节点的近似值为: =2.5, uB=3, uC=2, uD=2.5 现将各次近似值及余数列表如下:
[解重调和方程的差分方法] 在矩形D(x0≤x≤x0+a,y0≤y≤y0+a)中考虑重调和方程 取步长,引直线族 (i,j = 0, 1, 2n) 作成一个正方形网格.用差商代替偏导数
时,定义. 2° 边界条件为 时,定义. [其他与Δu有关的网格] 1° 三角网格(图14.10(a)) 取P0(x, y)为中心,它的周围6个邻近节点分别为: 则 式中,R表示余项. 2° 六角网格(图14.10(b)) 则 . 图14.10 3° 极坐标系中的网格(图14.10(c)) 取P0(r,)为中心,它的四个邻近节点分别为 而拉普拉斯方程 的相应的差分方程为 |
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