单词 | 椭圆型方程的格林方法 |
释义 | 3. 椭圆型方程的格林方法 在区域D考虑椭圆型方程 式中aij,bi,c,f为x1,…,xn的连续可微函数,aij=aji,二次型是正定的. [格林函数及其性质] 若Lu=0的共轭方程L*u=0的基本解G(x,)在D的边界S上满足 G(x,)=0, x∈S 则称G(x,)为方程Lu=0的格林函数,式中x=(x1,…,xn),ξ为参变点,=(1,…,n),即G(x,)=G(x1,…,xn; 1,…,n). 格林函数具有对称性质:设G(x,),V(x,)分别为方程Lu=0及其共轭方程的格林函数,则成立对称关系 G(x,)=V(x,) 特别如果Lu为自共轭微分算子,则有 G(x,)=G(,x) [利用格林函数解边值问题] 1° 一般公式 在区域D上应用格林公式(本节,四),并取v=G(x,),则方程Lu=f的狄利克莱问题u|s=的解为 式中 (N是S的外法线方向) 2° 对于球体(球心为O,半径为a),u=0的基本解为,r为P(x,y,z)与参变点的距离,作M关于球面的反演点M1,记r1为M1与P的距离,则格林函数为 .狄利克莱问题u|s=的解为 式中S为球面.引用球坐标时,解为泊松积分(本节,三,3). 3° 在圆上(半径为a),u=0的格林函数为 式中r为P(x,y)与参变点的距离,r1为P与M点关于圆的反演点M1的距离,圆上狄利克莱问题的解为泊松积分.
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