四、特殊矩阵

[零矩阵与零因子] 元素a_ij全为零的矩阵称为零矩阵，记作

O=(0)=

零矩阵具有性质：

O+A=A+O=A

OA=AO=O

A+(－A)=O,－A称为A的负矩阵

       若A,B为非零矩阵，即A¹ O,B¹ O,而AB=O,则称矩阵A为矩阵B的左零因子，矩阵B为矩阵A的右零因子，例如

A=, B=

AB===O

       [对角矩阵] 主对角线以外的元素都是零（d_ij=0,i¹ j）的方阵称为对角矩阵，记作

D==diag(d₁,d₂,...,d_n)=[d₁ d₂ ... d_n]

对角矩阵具有性质：

1° 左乘B

=

2° 右乘B

BD==

3° 两个对角矩阵的和、差、积仍为对角矩阵.

[数量矩阵] d_i=d(i=1,2,...,n)的对角矩阵称为数量矩阵，记作

D==[d d      ...    d]

       显然DB=BD=dB.

       [单位矩阵] d=1的数量矩阵称为单位矩阵，记作

I==「1 1      ...    1」

       显然IB=BI=B.

       [对称矩阵] 满足条件

a_ij=a_ji (i,j=1,2,...,n)

的方阵A=(a_ij)称为对称矩阵.例如

A=

是对称矩阵.对称矩阵具有性质：

       若A,B都是对称矩阵，则,且A^－1（使A^－1=A^－1A=I的矩阵.详见本节，六），A^m(m为正整数)，A+B仍是对称矩阵.

       ［实对称矩阵］实对称矩阵按其特征值（本节，七）可分为正定矩阵，半正定矩阵、负定矩阵、半负定矩阵和不定矩阵，它们的定义与充分必要条件如下

       [反对称矩阵] 满足条件

(i,j=1,2,...,n)

的方阵A=(a_ij)称为反对称矩阵.例如

A=

是反对称矩阵.反对称矩阵具有性质：

１° 若A,B都是反对称矩阵，则A^τ=－A,且A^－1, A+B仍是反对称矩阵，

A^m为

２° 任意方阵A都可分解为一个对称矩阵B=(b_ij)与一个反对称矩阵C=(c_ij)之和，即

A=B+C

只需取

b_ij= (a_ij+a_ji), c_ij= (a_ij-a_ji)

(i,j=1,2,...n)

[埃尔米特矩阵] 满足条件

At =

的方阵A称为埃尔米特矩阵.例如

A=

是埃尔米特矩阵.埃尔米特矩阵具有性质：

若A,B都是埃尔米特矩阵，则,A+B仍是埃尔米特矩阵.若A又是实方阵（即a_ij全为实数），则A就是对称矩阵.

       [反埃尔米特矩阵] 满足条件

At =

的方阵A称为反埃尔米特矩阵.例如

A=

是反埃尔米特矩阵.反埃尔米特矩阵具有性质：

       若A,B都是反埃尔米特矩阵，则, A+B仍是反埃尔米特矩阵.若A又是实方阵，则A就是反对称矩阵.

       [正交矩阵] 满足条件

At =

的方阵A称为正交矩阵.例如

A=

是正交矩阵.正交矩阵具有性质：

       若A=(a_ij)和B都是正交矩阵，则

1° , AB仍是正交矩阵.

2° detA=± 1.

3°

       [酉(U)矩阵] 满足条件

的方阵A称为酉(U)矩阵.例如：

A=

是酉矩阵.酉矩阵具有性质：

       若A=(a_ij)和B都是酉矩阵，则

1° A^-1,AB仍是酉矩阵.

2° det A· det=1.

3° 若A又是实方阵，则A是正交矩阵.

       [带型矩阵] 满足条件

a_ij=0

的方阵A=(a_ij)称为带型矩阵.2m+1称为带宽.一般形式为

A=

       [三角矩阵] 满足条件

a_ij=0 (i>j)

的方阵A=(a_ij)称为上三角形矩阵，一般形式为

A=

满足条件

的方阵称为下三角形矩阵，一般形式为

B=

       三角形矩阵具有性质：

       1° 任何秩为r的方阵C的前r个顺序的主子式不为0时，C可表为一个上三角形矩阵A与一个下三角形矩阵B的乘积，即

C=AB

       2° 上（或下）三角形矩阵的和、差、积及数乘仍是上（或下）三角形矩阵.

      [分块矩阵] 用水平和垂直虚线将矩阵A中的元素的阵列分成小块（称为子阵），A就成为分块矩阵.例如

A==

式中

B₁₁=，B₁₂=

B₂₁=, B₂₂=

它们都是A的子阵.

       进行分块矩阵的运算时，可将子阵当作通常矩阵的元素看待.这些运算指加、减、乘法、数乘、转置与共轭等.

       [分块对角矩阵] 主对角线上的子阵都是方阵，其余子阵都是零矩阵的分块矩阵称为分块对角矩阵.一般形式为

A=

分块对角矩阵A的逆矩阵A^－1和A的行列式可以用下面简单公式求出

A^－1=

det A=det B₁₁·det B₂₂·...·det B_kk

       注意，一般分块矩阵的行列式不能用把子阵当作通常矩阵的元素的方法来计算，例如把四阶方阵化为分块矩阵

A==

一般detA=det B₁₁·det B₂₂－det B₂₁·det B₁₂不成立（参见§1，二，3中的四阶行列式）.