单词 | 变分问题的直接方法 |
释义 | 五.变分问题的直接方法 [欧拉有限差分法] 考虑泛函 的极值,边界条件为 其步骤如下: (1) (1) 将积分区间分成n+1等份(图18.11),分点为 又.这时 式中 (2) (2) 选取使函数达到极值,也就是由方程组 来确定.如果从这个方程组难于确定时,也可用本章§2,§3的方法.于是可以用所得到的折线表示变分问题的近似解. 区间[a,b]分得愈细所得近似解就愈精确. [里兹法] 考虑泛函 的极值,边界条件为 其步骤如下: (1) (1) 选择一适当的函数序列(称为坐标函数): 构造函数 式中为待定常数.将的近似值代入泛函的表达式,则 (2) (2) 选取,使函数达到极值,也就是由方程组 来确定.如果从这个方程组难于确定时,也可用本章§2,§3的方法.于是可以得到变分问题的近似解. 当n越大时所得近似解就愈精确. 里兹方法也适用于泛函和依赖于多个函数的泛函. 例 求泛函 的极值,其中积分域D为椭圆. 解 只取一个坐标函数xy,则得 , 这时从 得到 而极值问题的近似解为 [康特罗维奇法] 考虑泛函 (1) 的极值,它展布在由二曲线,和二直线所围成的区域D上(图18.12).设在区域D的边界上函数的值z(x, y)已经给出.其步骤如下: (1) (1) 选取坐标函数序列: 构造函数 式中是待定函数.将z(x, y)的近似表达式 代入(1)式得 即 (2) (2) 选取函数使泛函达到极值,也就是由欧拉方程 来确定.而任意常数的选取是使在直线和上满足所给的边界条件.于是可以得到变分问题的近似解. 康特罗维奇法也适用于其他形式的泛函. 说明 一般说来,用同样的坐标函数以及相同的项数m,康特罗维奇法比里兹法精确.因为以变量为系数的函数类 较之以常数为系数的函数类 更为广阔. |
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